Plotar o gráfico dos seguintes polinômios:
\mathrm{P} 1(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+5

Passo 1

O enunciado pede para plotar o gráfico do polinômio \mathrm{P}1(x)=3x^{2}-4x+5.
Informações que temos (diretamente do enunciado):
  • Coeficiente quadrático: a=3.
  • Coeficiente linear: b=-4.
  • Termo constante: c=5.
O que precisamos obter para desenhar a parábola com segurança:
  • Direção de abertura (para cima ou para baixo).
  • Vértice (coordenadas).
  • Eixo de simetria.
  • Interseção com o eixo y e possíveis raízes reais (interseções com o eixo x).
  • Alguns pontos adicionais para formar a “curva”.

Passo 2

Como descobrir a direção de abertura.
Regra: para um polinômio quadrático na forma ax^{2}+bx+c,
  • se a>0 a parábola abre para cima (vértice é mínimo);
  • se a<0 a parábola abre para baixo (vértice é máximo).
Aqui a=3. Como 3>0, a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo.

Passo 3

Calcular a abscissa do vértice (fórmula e interpretação).
Fórmula conhecida: a abscissa do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Explicando: essa fórmula vem de derivar ax^{2}+bx+c e igualar a zero para achar o ponto onde a inclinação é zero (extremo). Aqui b=-4 e a=3. Então
x_{v} = -\frac{-4}{2\cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Calcular a ordenada do vértice (avaliar o polinômio no x_{v}).
Calcula-se y_{v} = \mathrm{P}1(x_{v}) = \mathrm{P}1\!\left(\frac{2}{3}\right).
Fazendo a conta passo a passo:
\mathrm{P}1\!\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^{2} - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 5.
\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9},\quad 3\cdot\frac{4}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.
-4\cdot\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}.
Somando:
\frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 5 = -\frac{4}{3} + 5 = -\frac{4}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3}.
Portanto o vértice é
\left(\frac{2}{3},\frac{11}{3}\right).

Passo 5

Escrever a forma de vértice (completar o quadrado) — isso ajuda a visualizar a parábola.
Transformar 3x^{2}-4x+5 em forma 3(x-h)^{2}+k para ver diretamente h e k.
Começa-se por fatorar 3 dos termos quadrático e linear:
3x^{2}-4x+5 = 3\Bigl(x^{2}-\frac{4}{3}x\Bigr) + 5.
Completa-se o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}-\frac{4}{3}x = \Bigl(x-\frac{2}{3}\Bigr)^{2} - \frac{4}{9}.
Substituindo:
3\Bigl(\Bigl(x-\frac{2}{3}\Bigr)^{2} - \frac{4}{9}\Bigr) + 5 = 3\Bigl(x-\frac{2}{3}\Bigr)^{2} - \frac{12}{9} + 5 = 3\Bigl(x-\frac{2}{3}\Bigr)^{2} - \frac{4}{3} + 5 = 3\Bigl(x-\frac{2}{3}\Bigr)^{2} + \frac{11}{3}.
Isto confirma o vértice \left(\frac{2}{3},\frac{11}{3}\right) e mostra que \frac{11}{3} é o valor mínimo da função.

Passo 6

Discriminante e existência de raízes reais.
Discriminante:
\Delta = b^{2} - 4ac.
Aqui b=-4, a=3, c=5. Então
\Delta = (-4)^{2} - 4\cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44.
Como \Delta<0, não há raízes reais: a parábola não corta o eixo x. Em palavras: o mínimo da parábola fica acima do eixo x.

Passo 7

Interseção com o eixo y e pontos suplementares úteis.
Interseção com o eixo y é \mathrm{P}1(0)=c. Então
\mathrm{P}1(0)=5.
Ponto (0,5).
Calculemos alguns pontos para desenhar a curva e ter uma forma convincente:
\mathrm{P}1(1)=3(1)^{2}-4(1)+5=3-4+5=4.
\mathrm{P}1(2)=3(4)-8+5=12-8+5=9.
\mathrm{P}1(-1)=3(1)+4+5=12.
Também calcule um ponto simétrico em relação ao eixo de simetria x=\tfrac{2}{3}. Por exemplo, o ponto simétrico de x=0 é x=2\cdot\frac{2}{3}-0=\frac{4}{3}. Verificando:
\mathrm{P}1\!\left(\frac{4}{3}\right)=5
(é simétrico com (0,5)).
Tabela de pontos úteis para plotar:
  • \left(-1,12\right)
  • \left(0,5\right)
  • \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{11}{3}\right) (vértice)
  • \left(1,4\right)
  • \left(\tfrac{4}{3},5\right)
  • \left(2,9\right)

Passo 8

Como desenhar o gráfico (passo a passo prático para a prova).
  1. Marque o vértice em \left(\frac{2}{3},\frac{11}{3}\right). Esse é o ponto mais baixo da parábola.
  2. Desenhe a reta vertical do eixo de simetria x=\frac{2}{3}.
  3. Marque o ponto de interseção com o eixo y: (0,5) — e o seu simétrico \left(\tfrac{4}{3},5\right).
  4. Marque mais alguns pontos da tabela ( (1,4), (2,9), (-1,12)) para garantir a forma.
  5. Ligue suavemente os pontos formando uma curva em “U” que abre para cima. Não haverá cortes com o eixo x (sem raízes reais).
Dica rápida: se tiver pouco tempo na prova, calcule vértice, interseção com y, sinal de a e discriminante. Com esses três elementos já se faz um esboço correto.

Resposta

Parábola com vértice \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{11}{3}\right); abre para cima ( a=3>0); não tem raízes reais ( \Delta=-44<0); eixo de simetria x=\tfrac{2}{3}; interseção com o eixo y em (0,5). Pontos úteis para traçar: (-1,12),(0,5),(\tfrac{2}{3},\tfrac{11}{3}),(1,4),(\tfrac{4}{3},5),(2,9).

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