Plotar o gráfico dos seguintes polinômios:
Passo 1
O enunciado pede para plotar o gráfico do polinômio
.
Informações que temos (diretamente do enunciado):
- Coeficiente quadrático:
. - Coeficiente linear:
. - Termo constante:
.
O que precisamos obter para desenhar a parábola com segurança:
- Direção de abertura (para cima ou para baixo).
- Vértice (coordenadas).
- Eixo de simetria.
- Interseção com o eixo
e possíveis raízes reais (interseções com o eixo ). - Alguns pontos adicionais para formar a “curva”.
Passo 2
Como descobrir a direção de abertura.
Regra: para um polinômio quadrático na forma
,
- se
a parábola abre para cima (vértice é mínimo); - se
a parábola abre para baixo (vértice é máximo).
Aqui
. Como
, a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo.
Passo 3
Calcular a abscissa do vértice (fórmula e interpretação).
Fórmula conhecida: a abscissa do vértice é
Explicando: essa fórmula vem de derivar
e igualar a zero para achar o ponto onde a inclinação é zero (extremo). Aqui
e
. Então
Passo 4
Calcular a ordenada do vértice (avaliar o polinômio no
).
Calcula-se
.
Fazendo a conta passo a passo:
Somando:
Portanto o vértice é
Passo 5
Escrever a forma de vértice (completar o quadrado) — isso ajuda a visualizar a parábola.
Transformar
em forma
para ver diretamente
e
.
Começa-se por fatorar
dos termos quadrático e linear:
Completa-se o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo:
Isto confirma o vértice
e mostra que
é o valor mínimo da função.
Passo 6
Discriminante e existência de raízes reais.
Discriminante:
Aqui
,
,
. Então
Como
, não há raízes reais: a parábola não corta o eixo
. Em palavras: o mínimo da parábola fica acima do eixo
.
Passo 7
Interseção com o eixo
e pontos suplementares úteis.
Interseção com o eixo
é
. Então
Ponto
.
Calculemos alguns pontos para desenhar a curva e ter uma forma convincente:
Também calcule um ponto simétrico em relação ao eixo de simetria
. Por exemplo, o ponto simétrico de
é
. Verificando:
(é simétrico com
).
Tabela de pontos úteis para plotar:
-
-
-
(vértice) -
-
-
Passo 8
Como desenhar o gráfico (passo a passo prático para a prova).
- Marque o vértice em
. Esse é o ponto mais baixo da parábola. - Desenhe a reta vertical do eixo de simetria
. - Marque o ponto de interseção com o eixo
: — e o seu simétrico . - Marque mais alguns pontos da tabela (
, , ) para garantir a forma. - Ligue suavemente os pontos formando uma curva em “U” que abre para cima. Não haverá cortes com o eixo
(sem raízes reais).
Dica rápida: se tiver pouco tempo na prova, calcule vértice, interseção com
, sinal de
e discriminante. Com esses três elementos já se faz um esboço correto.
Resposta
Parábola com vértice
; abre para cima (
); não tem raízes reais (
); eixo de simetria
; interseção com o eixo
em
. Pontos úteis para traçar:
.