Plote o seguinte gráfico
Passo 1
O enunciado pede para plotar a função racional
Informações dadas:
- A função está explicitamente dada por
com e . - A tarefa é desenhar o gráfico (identificar domínio, assíntotas, interceptos, comportamento próximo às descontinuidades e ao infinito, e então apresentar o traçado).
Passo 2
Domínio: determinar onde o denominador é zero. Factorizando o denominador:
Logo
quando
ou
. Isso significa que a função não está definida em
e
. Portanto o domínio é
Passo 3
Assíntotas verticais: como
e
(calculei avaliando o numerador nesses pontos),
os zeros do denominador não cancelam com o numerador. Assim e
são assíntotas verticais. Para entender o comportamento próximo a cada assíntota, usamos uma aproximação local: perto de
o fator dominante no denominador é
e
vale aproximadamente
, então
os zeros do denominador não cancelam com o numerador. Assim
Dessa forma:
Perto de
temos
, portanto
logo
Passo 4
Assíntota oblíqua (ou afim) para
: como o grau do numerador (
) é maior que o do denominador (
) por exatamente 1 grau, existe uma assíntota do tipo
. Faz-se a divisão polinomial:
Portanto a assíntota oblíqua é
pois o termo
quando
.
Passo 5
Interseções com os eixos:
- Interseção com o eixo
(quando ):
Portanto o ponto
está no gráfico.
- Interseção com o eixo
(raízes do numerador): devemos resolver
O teste por raízes racionais simples não deu raiz inteira clara; analisando sinais e aplicando bisseção para localizar a raiz real, encontrei uma raiz real única aproximada em
Isso significa que há um único ponto de corte com o eixo
em
(as outras duas raízes do cúbico são complexas).
Passo 6
Avaliação em pontos de referência (para entender forma e sinal em cada intervalo do domínio):
Calculei alguns valores para guiar o esboço:
Calculei alguns valores para guiar o esboço:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
: já visto . - Em
:
Esses pontos mostram o comportamento: em
a função assume grandes valores negativos antes de subir para
em
; entre
e
a função passa por valores positivos (por exemplo
) e tem um zero em
; em
a função vai de
para seguir a assíntota oblíqua
.
Passo 7
Derivada e monotonicidade (ideias e cálculo): para estudar crescimentos e extremos usamos a regra do quociente. Para
a derivada é
Aqui
e
. Simplificando a expressão do numerador da derivada obtém-se
portanto
O denominador é sempre positivo para
(é um quadrado), então o sinal de
é o sinal de
. Resolvi numericamente
e encontrei duas raízes reais aproximadas relevantes:
Essas raízes marcam possíveis máximos/minimos locais (considerando as assíntotas verticais que separam intervalos do domínio). Para traçar o gráfico em prova, basta testar sinais de
em intervalos e saber que a função é crescente quando
e decrescente quando
.
Passo 8
Resumo das características principais para o esboço:
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota oblíqua:
. - Interseções: com
em ; com em (aprox.). - Comportamento próximo às assíntotas: em ambas as assíntotas a função vai para
pela esquerda e pela direita (conforme Passo 3). - Pontos de referência: por exemplo
, , , , .
Esses dados são suficientes para desenhar um gráfico preciso. Para obter um traçado numérico e visual limpo, é prático traçar a função em três intervalos separados evitando as descontinuidades:, e com pequeno.
Passo 9
Como resultado final apresento um código pronto (Python + matplotlib) que plota a função com todas as informações úteis: assíntotas, pontos-chave e uma grade. Execute o código em um ambiente Python com numpy e matplotlib (por exemplo Jupyter, Google Colab ou um script local) para obter o gráfico exato.
Resposta
# Código para plotar y = (3 x^3 + 4 x^2 - 7 x + 10) / (x^2 + 6 x + 5)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def y(x):
return (3*x**3 + 4*x**2 - 7*x + 10) / (x**2 + 6*x + 5)
# pontos de descontinuidade
asym_x = [-5.0, -1.0]
# montar intervalos separados para evitar traçar através das assimptotas verticais
xs1 = np.linspace(-100, -5.001, 2000)
xs2 = np.linspace(-4.999, -1.001, 2000)
xs3 = np.linspace(-0.999, 100, 2000)
plt.figure(figsize=(10,6))
# plot da função em cada intervalo
plt.plot(xs1, y(xs1), 'b', lw=1.2)
plt.plot(xs2, y(xs2), 'b', lw=1.2)
plt.plot(xs3, y(xs3), 'b', lw=1.2)
# assíntotas verticais
for ax in asym_x:
plt.axvline(x=ax, color='k', linestyle='--', lw=1)
# assíntota oblíqua y = 3x - 14
xx = np.linspace(-100, 100, 400)
plt.plot(xx, 3*xx - 14, color='orange', linestyle='--', lw=1, label='assíntota: y=3x-14')
# pontos importantes
x_intercept = -2.6725 # aproximado
plt.scatter([x_intercept], [0], color='red', zorder=5, label=f'zero x≈{x_intercept:.4f}')
plt.scatter([0], [2], color='green', zorder=5, label='y-intercept (0,2)')
# limites de visualização e estilo
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-50, 50)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.6)
plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.6)
plt.legend()
plt.title(r'Gráfico de \(y=\dfrac{3x^{3}+4x^{2}-7x+10}{x^{2}+6x+5}\)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()