Plote o seguinte gráfico
y=\left(3 x^{3}+4 x^{2}-7 x+10\right) /\left(x^{2}+6 x+5\right)

Passo 1

O enunciado pede para plotar a função racional
y=\frac{3x^{3}+4x^{2}-7x+10}{x^{2}+6x+5}.
Informações dadas:
  • A função está explicitamente dada por y=\dfrac{N(x)}{D(x)} com N(x)=3x^{3}+4x^{2}-7x+10 e D(x)=x^{2}+6x+5.
  • A tarefa é desenhar o gráfico (identificar domínio, assíntotas, interceptos, comportamento próximo às descontinuidades e ao infinito, e então apresentar o traçado).

Passo 2

Domínio: determinar onde o denominador é zero. Factorizando o denominador:
D(x)=x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5).
Logo D(x)=0 quando x=-1 ou x=-5. Isso significa que a função não está definida em x=-1 e x=-5. Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq -5\}.

Passo 3

Assíntotas verticais: como N(-1)=18\neq0 e N(-5)=-230\neq0 (calculei avaliando o numerador nesses pontos),
os zeros do denominador não cancelam com o numerador. Assim x=-1 e x=-5 são assíntotas verticais. Para entender o comportamento próximo a cada assíntota, usamos uma aproximação local: perto de x=-1 o fator dominante no denominador é x+1 e x+5 vale aproximadamente 4, então
y\approx\frac{N(-1)}{(x+1)\cdot 4}=\frac{18}{4(x+1)}=\frac{9}{2(x+1)}.
Dessa forma:
\lim_{x\to-1^-} y = -\infty,\qquad \lim_{x\to-1^+} y = +\infty.
Perto de x=-5 temos x+1\approx -4, portanto
y\approx\frac{N(-5)}{-4(x+5)}=\frac{-230}{-4(x+5)}=\frac{57{,}5}{x+5},
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\lim_{x\to-5^-} y = -\infty,\qquad \lim_{x\to-5^+} y = +\infty.

Passo 4

Assíntota oblíqua (ou afim) para |x|\to\infty: como o grau do numerador ( 3) é maior que o do denominador ( 2) por exatamente 1 grau, existe uma assíntota do tipo y=mx+b. Faz-se a divisão polinomial:
\frac{3x^{3}+4x^{2}-7x+10}{x^{2}+6x+5}=3x-14+\frac{62x+80}{x^{2}+6x+5}.
Portanto a assíntota oblíqua é
y=3x-14,
pois o termo \dfrac{62x+80}{x^{2}+6x+5}\to0 quando |x|\to\infty.

Passo 5

Interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo y (quando x=0):
y(0)=\frac{10}{5}=2.
Portanto o ponto (0,2) está no gráfico.
  • Interseção com o eixo x (raízes do numerador): devemos resolver
3x^{3}+4x^{2}-7x+10=0.
O teste por raízes racionais simples não deu raiz inteira clara; analisando sinais e aplicando bisseção para localizar a raiz real, encontrei uma raiz real única aproximada em
x\approx -2{,}6725.
Isso significa que há um único ponto de corte com o eixo x em \bigl(\, -2{,}6725,\\\ 0\,\bigr) (as outras duas raízes do cúbico são complexas).

Passo 6

Avaliação em pontos de referência (para entender forma e sinal em cada intervalo do domínio):
Calculei alguns valores para guiar o esboço:
  • Em x=-6:
N(-6)=-452,\qquad D(-6)=5\quad\Rightarrow\quad y(-6)=-90{,}4.
  • Em x=-3:
N(-3)=-14,\qquad D(-3)=-4\quad\Rightarrow\quad y(-3)=\frac{-14}{-4}=3{,}5.
  • Em x=-2:
N(-2)=16,\qquad D(-2)=-3\quad\Rightarrow\quad y(-2)=-\tfrac{16}{3}\approx -5{,}333.
  • Em x=0: já visto y(0)=2.
  • Em x=1:
y(1)=\frac{10}{12}\approx 0{,}8333.
Esses pontos mostram o comportamento: em (-\infty,-5) a função assume grandes valores negativos antes de subir para +\infty em x=-5^+; entre -5 e -1 a função passa por valores positivos (por exemplo y(-3)=3{,}5) e tem um zero em \approx -2{,}6725; em (-1,+\infty) a função vai de -\infty para seguir a assíntota oblíqua 3x-14.

Passo 7

Derivada e monotonicidade (ideias e cálculo): para estudar crescimentos e extremos usamos a regra do quociente. Para
y=\frac{N(x)}{D(x)},
a derivada é
y'=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Aqui N'(x)=9x^{2}+8x-7 e D'(x)=2x+6. Simplificando a expressão do numerador da derivada obtém-se
S(x)=3x^{4}+36x^{3}+76x^{2}+20x-95,
portanto
y'=\frac{S(x)}{(x^{2}+6x+5)^{2}}.
O denominador é sempre positivo para x\neq -1,-5 (é um quadrado), então o sinal de y' é o sinal de S(x). Resolvi numericamente S(x)=0 e encontrei duas raízes reais aproximadas relevantes:
x\approx -9{,}45\quad\text{e}\quad x\approx 0{,}847.
Essas raízes marcam possíveis máximos/minimos locais (considerando as assíntotas verticais que separam intervalos do domínio). Para traçar o gráfico em prova, basta testar sinais de S(x) em intervalos e saber que a função é crescente quando S(x)>0 e decrescente quando S(x)<0.

Passo 8

Resumo das características principais para o esboço:
  • Domínio: x\neq -5,\\ x\neq -1.
  • Assíntotas verticais: x=-5 e x=-1.
  • Assíntota oblíqua: y=3x-14.
  • Interseções: com y em (0,2); com x em \bigl(-2{,}6725,0\bigr) (aprox.).
  • Comportamento próximo às assíntotas: em ambas as assíntotas a função vai para -\infty pela esquerda e +\infty pela direita (conforme Passo 3).
  • Pontos de referência: por exemplo (-6,-90{,}4), (-3,3{,}5), (-2,-5{,}333), (0,2), (1,0{,}8333).
    Esses dados são suficientes para desenhar um gráfico preciso. Para obter um traçado numérico e visual limpo, é prático traçar a função em três intervalos separados evitando as descontinuidades: (-\infty,-5-\varepsilon], [ -5+\varepsilon,-1-\varepsilon] e [ -1+\varepsilon,\infty) com \varepsilon pequeno.

Passo 9

Como resultado final apresento um código pronto (Python + matplotlib) que plota a função com todas as informações úteis: assíntotas, pontos-chave e uma grade. Execute o código em um ambiente Python com numpy e matplotlib (por exemplo Jupyter, Google Colab ou um script local) para obter o gráfico exato.

Resposta

# Código para plotar y = (3 x^3 + 4 x^2 - 7 x + 10) / (x^2 + 6 x + 5)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def y(x):
    return (3*x**3 + 4*x**2 - 7*x + 10) / (x**2 + 6*x + 5)

# pontos de descontinuidade
asym_x = [-5.0, -1.0]

# montar intervalos separados para evitar traçar através das assimptotas verticais
xs1 = np.linspace(-100, -5.001, 2000)
xs2 = np.linspace(-4.999, -1.001, 2000)
xs3 = np.linspace(-0.999, 100, 2000)

plt.figure(figsize=(10,6))

# plot da função em cada intervalo
plt.plot(xs1, y(xs1), 'b', lw=1.2)
plt.plot(xs2, y(xs2), 'b', lw=1.2)
plt.plot(xs3, y(xs3), 'b', lw=1.2)

# assíntotas verticais
for ax in asym_x:
    plt.axvline(x=ax, color='k', linestyle='--', lw=1)

# assíntota oblíqua y = 3x - 14
xx = np.linspace(-100, 100, 400)
plt.plot(xx, 3*xx - 14, color='orange', linestyle='--', lw=1, label='assíntota: y=3x-14')

# pontos importantes
x_intercept = -2.6725  # aproximado
plt.scatter([x_intercept], [0], color='red', zorder=5, label=f'zero x≈{x_intercept:.4f}')
plt.scatter([0], [2], color='green', zorder=5, label='y-intercept (0,2)')

# limites de visualização e estilo
plt.xlim(-20, 20)
plt.ylim(-50, 50)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.6)
plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.6)
plt.legend()
plt.title(r'Gráfico de \(y=\dfrac{3x^{3}+4x^{2}-7x+10}{x^{2}+6x+5}\)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

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