Plotar o gráfico dos seguintes polinômios:
P 2(x)=2 x^{8}+4 x^{7}-2 x^{6}-5 x^{4}+x^{3}-2 x^{2}+x+3

Passo 1

O enunciado pede: plotar o gráfico do polinômio P_2(x)=2x^{8}+4x^{7}-2x^{6}-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}+x+3.
Informações dadas (explicitadas):
  • O polinômio é P_2(x)=2x^{8}+4x^{7}-2x^{6}-5x^{4}+x^{3}-2x^{2}+x+3.
  • O objetivo prático: obter um esboço do gráfico (ou seja, identificar interceptos, comportamento nas extremidades, extremos locais, monotonicidade e formato geral).
No esboço que vamos construir precisamos encontrar:
  • intercepto em y (valor em x=0);
  • possíveis raízes reais (interceptos em x);
  • comportamento para x\to\pm\infty;
  • pontos críticos (onde P_2'(x)=0) para localizar máximos/minimos locais;
  • concavidade/inflecções (opcional, pelo sinal de P_2''(x));
  • valores auxiliares para escalonar o desenho (alguns pontos avaliados).

Passo 2

Comportamento nas extremidades (aula curta sobre termo dominante)
  • Regra rápida: para um polinômio, o comportamento para x\to\pm\infty é determinado pelo termo de maior grau (termo dominante).
  • Aqui o termo de maior grau é 2x^{8}. Como o grau é par ( 8) e o coeficiente dominante é positivo ( 2>0), temos:
    • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}P_2(x)=+\infty,
    • \displaystyle \lim_{x\to-\infty}P_2(x)=+\infty.
  • Interpretação geométrica: as duas “pontas” do polinômio sobem para +\infty.

Passo 3

Intercepto em y e testes rápidos (como achar interceptos)
  • O intercepto em y é P_2(0).
  • Calculo: P_2(0)=3.
  • Então o gráfico passa por (0,3).

Passo 4

Procurando raízes reais (estratégia e avaliação em pontos inteiros/racionais)
  • Usamos o teste de sinal: avaliar P_2(x) em alguns pontos para encontrar trocas de sinal (intervalos onde existe pelo menos uma raiz real).
  • Avaliações (mostradas passo a passo):
    Calcule P_2(-3):
    \begin{aligned} P_2(-3)&=2(-3)^{8}+4(-3)^{7}-2(-3)^{6}-5(-3)^{4}+(-3)^{3}-2(-3)^{2}+(-3)+3\\\ &=13122-8748-1458-405-27-18-3+3=2466. \end{aligned}
    Conclusão: P_2(-3)=2466>0.
    Calcule P_2(-2):
    \begin{aligned} P_2(-2)&=2\cdot256+4\cdot(-128)-2\cdot64-5\cdot16+(-8)-2\cdot4+(-2)+3\\\ &=512-512-128-80-8-8-2+3=-223. \end{aligned}
    Conclusão: P_2(-2)=-223<0.
    Observação: há uma troca de sinal entre x=-3 e x=-2, logo existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.
    Calcule P_2(-1):
    P_2(-1)=-10\quad(\text{cálculo mostrado no desenvolvimento}).á
    Calcule P_2(0)=3 (já feito).
    Conclusão: há troca de sinal entre x=-1 e x=0, logo existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.
    Outros pontos úteis:
    P_2(1)=2,\qquad P_2(2)=821,
    ambos positivos, sem troca de sinal no lado positivo até x=2.
  • Resumo das trocas de sinal detectadas:
    • Pelo menos uma raiz em (-3,-2).
    • Pelo menos uma raiz em (-1,0).
    • Não há troca de sinal detectada para x>0 com os pontos testados, então provavelmente não há raízes positivas reais pequenas.

Passo 5

Refinar raízes por bissecção (aproximação numérica manual)
  • Vamos refinar cada intervalo onde detectamos troca de sinal, usando alguns pontos intermediários (bissecção simples).
Raiz entre -3 e -2:
  • P_2(-2,9) (avaliado aproximadamente) deu positivo; P_2(-2,5)\approx -100{,}867 deu negativo. Então há raiz entre -2{,}9 e -2{,}5.
  • Avaliando x=-2{,}6 encontrei P_2(-2{,}6)\approx 87{,}0>0.
  • Avaliando x=-2{,}55 encontrei P_2(-2{,}55)\approx -17{,}65<0.
  • Portanto raiz entre -2{,}6 e -2{,}55.
  • Interpolando linearmente entre esses dois valores (método rápido de aproximação), obtemos uma raiz aproximada x\approx -2{,}558.
Raiz entre -1 e 0:
  • P_2(-0{,}75)\approx -1{,}5686<0 e P_2(-0{,}625)\approx 0{,}3650>0.
  • Raiz entre -0{,}75 e -0{,}625.
  • Interpolando linearmente, obtemos raiz aproximada
    x\approx -0{,}649.
  • Conclusão: duas raízes reais aproximadas (duas interseções com o eixo x):
    • x\approx -2{,}558,
    • x\approx -0{,}649.

Passo 6

Derivada e pontos críticos (por que e como usar)
  • Para localizar máximos e mínimos locais e entender onde a função cresce/decresce, calculamos P_2'(x).
  • Derivando termo a termo: P_2'(x)=16x^{7}+28x^{6}-12x^{5}-20x^{3}+3x^{2}-4x+1.
  • Estratégia: avaliar P_2'(x) em pontos para identificar trocas de sinal (indicam pontos críticos).
Avaliações de P_2'(x) em pontos selecionados:
  • P_2'(-3)\approx -11084 (muito negativo) → função decrescendo lá.
  • P_2'(-2{,}5)\approx -1415{,}6 (negativo).
  • P_2'(-2)\approx 309 (positivo).
  • P_2'(-1{,}5)\approx 217{,}94 (positivo).
  • P_2'(-1)\approx 52 (positivo).
  • P_2'(0)=1 (positivo).
  • P_2'(1)=12 (positivo).
Interpretação:
  • Há troca de sinal de P_2' entre -2{,}5 (negativo) e -2 (positivo), ou seja existe um ponto crítico (um mínimo local) nesse intervalo.
  • Em todo o restante (entre esse ponto crítico e para a direita) P_2'(x) mostrou-se positivo nos pontos testados, sugerindo que a função cresce depois desse mínimo.
  • Para a esquerda do mínimo, P_2' era negativo (p.ex. em -3), então a função decresce antes do mínimo.
Estimativa do mínimo (interpolação do zero de P_2'):
  • Interpolando linearmente entre -2{,}5 (onde P_2'\approx -1415{,}6) e -2 (onde P_2'\approx 309), obtemos raiz de P_2' em torno de x_c\approx -2{,}09.
  • Avaliando P_2 nesse ponto (aprox.): P_2(-2{,}09)\approx -247\\ \text{(valor aproximado do mínimo local)}.í
  • Conclusão: mínimo local aproximadamente em \bigl(-2{,}09,\,-247\bigr).

Passo 7

Monotonicidade e forma geral do gráfico (síntese)
  • A partir do sinal de P_2':
    • P_2 é decrescente em (-\infty,\,-2{,}09).
    • Tem um mínimo local em x\approx -2{,}09.
    • P_2 é crescente em (-2{,}09,\,+\infty) (pelo menos nos intervalos amostrados; não foram detectados outros zeros reais de P_2' nos pontos testados).
  • Ligando isso com o comportamento nas extremidades (ambas as pontas para +\infty), o gráfico vem de +\infty pela esquerda, desce, cruza o eixo x em x\approx -2{,}558, atinge um mínimo profundo perto de (-2{,}09,\,-247), sobe, cruza novamente o eixo x em x\approx -0{,}649, passa em (0,3) e segue para +\infty à direita.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão (breve)
  • Segunda derivada: P_2''(x)=112x^{6}+168x^{5}-60x^{4}-60x^{2}+6x-4.
  • Não é preciso localizar exatamente todas as inflexões para um esboço razoável, mas se quiser maior refinamento pode-se testar o sinal de P_2'' em pontos (por exemplo: P_2''(-2), P_2''(-1), P_2''(0)) para saber onde a curva é côncava para cima ou para baixo. Isso ajuda a “afinar” a forma do esboço entre os pontos já encontrados.

Passo 9

Como montar o esboço na folha (passo a passo prático)
  1. Trace e rotule eixos x e y.
  2. Marque as duas raízes aproximadas: \bigl(-2{,}558,0\bigr) e \bigl(-0{,}649,0\bigr).
  3. Marque o intercepto em y: \bigl(0,3\bigr).
  4. Marque o mínimo local aproximado: \bigl(-2{,}09,\,-247\bigr). (Observe: este valor é grande em magnitude — o eixo y terá que refletir essa escala se quiser mostrar o mínimo com precisão; para um esboço às vezes usa-se escala comprimida no eixo y.)
  5. Marque alguns pontos auxiliares para escalonar: por exemplo P_2(-3)=2466 e P_2(2)=821 (mostram como rápido cresce para magnitude grande).
  6. Desenhe a curva suavemente: desce desde +\infty à esquerda, passa por (-2{,}558,0), desce até o mínimo em (-2{,}09,\,-247), sobe, cruza em (-0{,}649,0), passa por (0,3) e continua subindo para +\infty à direita.
  7. Mantenha a suavidade: polinômios são funções suaves com derivadas de todas as ordens, portanto sem cantos.

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (como fazer rápido no tempo)
  • Priorize: identifique termo dominante (end behavior), intercepto em y, sinais em pontos inteiros para achar intervalos com raízes, calcule P'(x) e avalie em poucos pontos estratégicos para localizar mínimos/máximos.
  • Use bissecção simples (avaliar função em pontos médios) para refinar raízes em poucos passos.
  • Se o mínimo/valor for enorme (como aqui), para o esboço pode ser suficiente indicar aproximadamente o valor e usar escala comprimida no eixo vertical.

Resposta

Raízes reais aproximadas: x\approx -2{,}558 e x\approx -0{,}649
Intercepto em y: P_2(0)=3
Mínimo local aproximado: \bigl(-2{,}09,\,-247\bigr)
Monotonicidade: decresce em (-\infty,-2{,}09), cresce em (-2{,}09,+\infty)
Comportamento nas extremidades: \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}P_2(x)=+\infty

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