Plotar o gráfico dos seguintes polinômios:
Passo 1
O enunciado pede: plotar o gráfico do polinômio
.
Informações dadas (explicitadas):
- O polinômio é
. - O objetivo prático: obter um esboço do gráfico (ou seja, identificar interceptos, comportamento nas extremidades, extremos locais, monotonicidade e formato geral).
No esboço que vamos construir precisamos encontrar:
- intercepto em
(valor em ); - possíveis raízes reais (interceptos em
); - comportamento para
; - pontos críticos (onde
) para localizar máximos/minimos locais; - concavidade/inflecções (opcional, pelo sinal de
); - valores auxiliares para escalonar o desenho (alguns pontos avaliados).
Passo 2
Comportamento nas extremidades (aula curta sobre termo dominante)
- Regra rápida: para um polinômio, o comportamento para
é determinado pelo termo de maior grau (termo dominante). - Aqui o termo de maior grau é
. Como o grau é par ( ) e o coeficiente dominante é positivo ( ), temos: -
, -
.
-
- Interpretação geométrica: as duas “pontas” do polinômio sobem para
.
Passo 3
Intercepto em
e testes rápidos (como achar interceptos)
- O intercepto em
é . - Calculo:
- Então o gráfico passa por
.
Passo 4
Procurando raízes reais (estratégia e avaliação em pontos inteiros/racionais)
-
Usamos o teste de sinal: avaliar
em alguns pontos para encontrar trocas de sinal (intervalos onde existe pelo menos uma raiz real). -
Avaliações (mostradas passo a passo):Calcule
: Conclusão:. Calcule: Conclusão:. Observação: há uma troca de sinal entree , logo existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo. Calcule: Calcule(já feito).
Conclusão: há troca de sinal entree , logo existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo. Outros pontos úteis:ambos positivos, sem troca de sinal no lado positivo até. -
Resumo das trocas de sinal detectadas:
- Pelo menos uma raiz em
. - Pelo menos uma raiz em
. - Não há troca de sinal detectada para
com os pontos testados, então provavelmente não há raízes positivas reais pequenas.
- Pelo menos uma raiz em
Passo 5
Refinar raízes por bissecção (aproximação numérica manual)
- Vamos refinar cada intervalo onde detectamos troca de sinal, usando alguns pontos intermediários (bissecção simples).
Raiz entre
e
:
-
(avaliado aproximadamente) deu positivo; deu negativo. Então há raiz entre e . - Avaliando
encontrei . - Avaliando
encontrei . - Portanto raiz entre
e . - Interpolando linearmente entre esses dois valores (método rápido de aproximação), obtemos uma raiz aproximada
Raiz entre
e
:
-
e . -
Raiz entre
e . -
Interpolando linearmente, obtemos raiz aproximada
-
Conclusão: duas raízes reais aproximadas (duas interseções com o eixo
): -
, -
.
-
Passo 6
Derivada e pontos críticos (por que e como usar)
- Para localizar máximos e mínimos locais e entender onde a função cresce/decresce, calculamos
. - Derivando termo a termo:
- Estratégia: avaliar
em pontos para identificar trocas de sinal (indicam pontos críticos).
Avaliações de
em pontos selecionados:
-
(muito negativo) → função decrescendo lá. -
(negativo). -
(positivo). -
(positivo). -
(positivo). -
(positivo). -
(positivo).
Interpretação:
- Há troca de sinal de
entre (negativo) e (positivo), ou seja existe um ponto crítico (um mínimo local) nesse intervalo. - Em todo o restante (entre esse ponto crítico e para a direita)
mostrou-se positivo nos pontos testados, sugerindo que a função cresce depois desse mínimo. - Para a esquerda do mínimo,
era negativo (p.ex. em ), então a função decresce antes do mínimo.
Estimativa do mínimo (interpolação do zero de
):
- Interpolando linearmente entre
(onde ) e (onde ), obtemos raiz de em torno de - Avaliando
nesse ponto (aprox.): - Conclusão: mínimo local aproximadamente em
.
Passo 7
Monotonicidade e forma geral do gráfico (síntese)
- A partir do sinal de
: -
é decrescente em . - Tem um mínimo local em
. -
é crescente em (pelo menos nos intervalos amostrados; não foram detectados outros zeros reais de nos pontos testados).
-
- Ligando isso com o comportamento nas extremidades (ambas as pontas para
), o gráfico vem de pela esquerda, desce, cruza o eixo em , atinge um mínimo profundo perto de , sobe, cruza novamente o eixo em , passa em e segue para à direita.
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão (breve)
- Segunda derivada:
- Não é preciso localizar exatamente todas as inflexões para um esboço razoável, mas se quiser maior refinamento pode-se testar o sinal de
em pontos (por exemplo: , , ) para saber onde a curva é côncava para cima ou para baixo. Isso ajuda a “afinar” a forma do esboço entre os pontos já encontrados.
Passo 9
Como montar o esboço na folha (passo a passo prático)
- Trace e rotule eixos
e . - Marque as duas raízes aproximadas:
e . - Marque o intercepto em
: . - Marque o mínimo local aproximado:
. (Observe: este valor é grande em magnitude — o eixo terá que refletir essa escala se quiser mostrar o mínimo com precisão; para um esboço às vezes usa-se escala comprimida no eixo .) - Marque alguns pontos auxiliares para escalonar: por exemplo
e (mostram como rápido cresce para magnitude grande). - Desenhe a curva suavemente: desce desde
à esquerda, passa por , desce até o mínimo em , sobe, cruza em , passa por e continua subindo para à direita. - Mantenha a suavidade: polinômios são funções suaves com derivadas de todas as ordens, portanto sem cantos.
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (como fazer rápido no tempo)
- Priorize: identifique termo dominante (end behavior), intercepto em
, sinais em pontos inteiros para achar intervalos com raízes, calcule e avalie em poucos pontos estratégicos para localizar mínimos/máximos. - Use bissecção simples (avaliar função em pontos médios) para refinar raízes em poucos passos.
- Se o mínimo/valor for enorme (como aqui), para o esboço pode ser suficiente indicar aproximadamente o valor e usar escala comprimida no eixo vertical.
Resposta
Raízes reais aproximadas:
e
Intercepto em :
Mínimo local aproximado:
Monotonicidade: decresce em , cresce em
Comportamento nas extremidades:
Intercepto em
Mínimo local aproximado:
Monotonicidade: decresce em
Comportamento nas extremidades: