Determine a solução f(k) da seguinte equação de diferenças
f(k+2)+3 f(k+1)+2 f(k)=0, \operatorname{com} f(0)=0, f(1)=1 .
Verifique o resultado obtido, calculando f(k) para k=0, \ldots, 5 por meio dos métodos da divisão contínua e por meio de um programa de computador.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação de diferenças (recorrência) e condições iniciais:
f(k+2)+3 f(k+1)+2 f(k)=0,
com
f(0)=0,\qquad f(1)=1.
O que se pede:
  • Determinar a solução fechada f(k) válida para todo inteiro k\ge 0.
  • Verificar o resultado calculando explicitamente f(k) para k=0,\ldots,5 por dois meios: (i) cálculo iterativo pela própria recorrência (chamado aqui de “divisão contínua” — isto é, calcular termos sucessivos usando a relação de recorrência) e (ii) por meio de um programa de computador que execute a recorrência e a fórmula fechada.

Passo 2

Escolha do método: para equações de diferenças lineares homogêneas com coeficientes constantes (como esta), o método padrão é procurar soluções da forma f(k)=r^k. Isso transforma a recorrência numa equação algébrica (a equação característica). Vou aplicar esse método porque converte o problema em resolver uma equação polinomial simples e depois ajustar constantes pelas condições iniciais. Vou explicar cada passo desse método com calma.

Passo 3

Formação da equação característica. Se tentarmos f(k)=r^k (onde r é um número a determinar), então substituindo na recorrência obtemos
r^{k+2}+3 r^{k+1}+2 r^k = 0.
Fatorando r^k (que é diferente de zero para a forma proposta), ficamos com a equação característica
r^2+3r+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática.

Passo 4

Resolução da equação característica. A equação
r^2+3r+2=0
pode ser fatorada como
(r+1)(r+2)=0,
portanto as raízes são
r=-1\quad\text{e}\quad r=-2.
Como as raízes são reais distintas, a forma geral da solução da recorrência é
f(k)=A(-1)^k + B(-2)^k,
onde A e B são constantes a determinar a partir das condições iniciais. Explico: para cada raiz r da equação característica existe uma solução r^k; com raízes distintas a combinação linear dessas soluções fornece a solução geral.

Passo 5

Determinar A e B usando as condições iniciais. Substituindo k=0 na expressão geral:
f(0)=A(-1)^0 + B(-2)^0 = A + B.
Mas sabemos que f(0)=0. Logo
A + B = 0. \tag{1}
Substituindo k=1:
f(1)=A(-1)^1 + B(-2)^1 = -A -2B.
Sabemos que f(1)=1. Logo
-A - 2B = 1. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema (1)-(2). Da equação (1) vem B=-A. Substituindo em (2):
-A - 2(-A) = 1 \quad\Rightarrow\quad -A + 2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = 1.
Então B=-A=-1.

Passo 6

Escrevendo a solução com as constantes encontradas:
f(k)=1\cdot(-1)^k + (-1)\cdot(-2)^k = (-1)^k - (-2)^k.
Faço uma checagem imediata das condições iniciais: para k=0 temos f(0)=1-1=0 e para k=1 temos f(1)=-1-(-2)=1. Ambas conferem.

Passo 7

Verificação algébrica de que a forma satisfaz a recorrência. Substituo f(k)=(-1)^k-(-2)^k em f(k+2)+3f(k+1)+2f(k):
\begin{aligned} f(k+2)+3f(k+1)+2f(k) &= \big((-1)^{k+2}-(-2)^{k+2}\big) +3\big((-1)^{k+1}-(-2)^{k+1}\big) +2\big((-1)^k-(-2)^k\big) \\\ &= \big((-1)^{k+2}+3(-1)^{k+1}+2(-1)^k\big) -\big((-2)^{k+2}+3(-2)^{k+1}+2(-2)^k\big). \end{aligned}
Agora fatoramos potências comuns: para a parte com (-1) aparece (-1)^k fatorando:
(-1)^k\big((-1)^2+3(-1)+2\big)=(-1)^k(1-3+2)=(-1)^k\cdot 0=0.
Para a parte com (-2) aparece (-2)^k fatorando:
(-2)^k\big((-2)^2+3(-2)+2\big)=(-2)^k(4-6+2)=(-2)^k\cdot 0=0.
Logo a soma inteira é 0-0=0, ou seja, a fórmula satisfaz a recorrência para todo k. Isso fecha a verificação teórica.

Passo 8

Cálculo de f(k) para k=0,\ldots,5 pelo método iterativo (cálculo sucessivo usando a recorrência — o procedimento pedido como “divisão contínua”): a recorrência pode ser rearranjada para calcular o termo seguinte:
f(k+2) = -3 f(k+1) - 2 f(k).
Começando com f(0)=0 e f(1)=1:
  • k=0: f(2) = -3 f(1) - 2 f(0) = -3\cdot 1 - 2\cdot 0 = -3.
  • k=1: f(3) = -3 f(2) - 2 f(1) = -3\cdot(-3) - 2\cdot 1 = 9 - 2 = 7.
  • k=2: f(4) = -3 f(3) - 2 f(2) = -3\cdot 7 - 2\cdot(-3) = -21 + 6 = -15.
  • k=3: f(5) = -3 f(4) - 2 f(3) = -3\cdot(-15) - 2\cdot 7 = 45 - 14 = 31.
    Assim obtemos os valores:
f(0)=0,\\ f(1)=1,\\ f(2)=-3,\\ f(3)=7,\\ f(4)=-15,\\ f(5)=31.

Passo 9

Cálculo dos mesmos termos usando a fórmula fechada f(k)=(-1)^k-(-2)^k, mostrando que coincide com o passo anterior:
  • k=0: f(0)=(-1)^0-(-2)^0=1-1=0.
  • k=1: f(1)=(-1)^1-(-2)^1=-1-(-2)=-1+2=1.
  • k=2: f(2)=(-1)^2-(-2)^2=1-4=-3.
  • k=3: f(3)=(-1)^3-(-2)^3=-1-(-8)=-1+8=7.
  • k=4: f(4)=(-1)^4-(-2)^4=1-16=-15.
  • k=5: f(5)=(-1)^5-(-2)^5=-1-(-32)=-1+32=31.
    Confere perfeitamente com os valores obtidos pelo cálculo iterativo.

Passo 10

Verificação por programa de computador. Um pequeno programa em Python que calcula os termos tanto pela recorrência quanto pela fórmula fechada e imprime os resultados seria assim:
# calcula f(k) pela recorrencia e pela formula fechada
def recorrencia(n):
    f = [0]*(n+1)
    f[0] = 0
    if n >= 1:
        f[1] = 1
    for k in range(0, n-1):
        f[k+2] = -3*f[k+1] - 2*f[k]
    return f

def formula(n):
    return [(-1)**k - (-2)**k for k in range(n+1)]

n = 5
r = recorrencia(n)
g = formula(n)
print("recurrence:", r)
print("closed form:", g)
A saída desse programa será:
recurrence: [0, 1, -3, 7, -15, 31]
closed form: [0, 1, -3, 7, -15, 31]
o que confirma que ambas as abordagens produzem exatamente a mesma sequência.

Resposta

f(k)=(-1)^k-(-2)^k
f(0)=0,\\ f(1)=1,\\ f(2)=-3,\\ f(3)=7,\\ f(4)=-15,\\ f(5)=31

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