Como se pode determinar o estado de tensões num ponto de um meio fluido?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como determinar o estado de tensões num ponto de um meio fluido.
Informações implícitas e dados que podem ser necessários (não fornecidos pelo enunciado, mas que tipicamente se tem ou se precisa obter):
Informações implícitas e dados que podem ser necessários (não fornecidos pelo enunciado, mas que tipicamente se tem ou se precisa obter):
- Saber se o fluido está em repouso (fluido estático) ou em movimento (fluido dinâmico/viscoso).
- Se dinâmico: conhecer o campo de velocidade ) no entorno do ponto e as propriedades do fluido, em particular a viscosidade dinâmica ) (e, se necessário, a segunda viscosidade )).
- Saber o campo de pressão ) no ponto (ou como medi‑lo).
- Possível objetivo prático: obter componentes da tensão sobre planos arbitrários, tensões normais e cisalhantes, e/ou os autovalores (tensões principais) e direções principais.
Passo 2
Definição operacional: o que é “estado de tensões” num ponto.
- Tome um ponto do fluido e imagine um plano infinitesimal que atravessa esse ponto com uma orientação dada por um vetor unitário normal ).
- A força por unidade de área (vetor tração) que o resto do fluido exerce sobre a parte do fluido limitada por esse plano é chamada de tração ).
- Atingir o estado de tensões no ponto significa conhecer a relação que dá ) para qualquer direção ).
Teorema de Cauchy (fato fundamental que usamos): a tração depende linearmente da direção normal. Logo existe um tensor de tensões
) tal que, para todo vetor unitário
),
Aqui
) é a matriz
cujas entradas
) têm o significado:
) é a componente
-ésima da tração sobre a face cujo normal é a direção
(por exemplo, a coluna
de
) é
), a tração na face normal ao eixo
).
Passo 3
Como, na prática, obter as componentes
) a partir de medidas ou de campos conhecidos.
Método direto geométrico/experimental:
Método direto geométrico/experimental:
- Escolher três direções ortonormais ) (os eixos cartesianos).
- Medir (ou calcular) as traçãoes ). Cada uma é um vetor com três componentes.
- Montar a matriz ) cujas colunas são esses vetores:
Assim obtém‑se todas as componentes
). Depois, para qualquer plano de normal
), usa‑se
).
Observação prática: medir diretamente as trações em três faces ortogonais pode ser feito com sensores de esforço minúsculos, mas na prática em fluidos costuma‑se conhecer o campo pressão e velocidade e calcular as tensões (próximo passo).
Passo 4
Forma especial das tensões em fluidos: decomposição pressão + tensões desviadoras.
- Em um fluido (continuidade e simetria do tensor de tensões) costuma‑se decompor
onde:
-
) é a pressão (escalar) — a parte isotrópica das tensões;
) é a identidade
. A convenção usual aqui é que ) produz uma tensão normal compressiva ) (tração normal )). - ) é o tensor de tensões desviadoras (viscosa), que contém as componentes cisalhantes e eventuais desvios da isotropia.
Casos importantes:
- Fluido em repouso: não há tensões de cisalhamento. Logo
Isto significa que, para qualquer direção
),
Portanto as tensões normais são iguais em todas as direções e não há tensão tangencial — é a característica do estado hidrostático.
Passo 5
Se o fluido está em movimento e é viscoso: constituição típica (fluido newtoniano).
- Para um fluido newtoniano compressível a relação linear mais geral é
onde:
- ) é a viscosidade dinâmica (coeficiente de cisalhamento), ) é a segunda viscosidade (às vezes relacionada a efeitos de compressibilidade).
- ) é o campo de velocidade local.
- ) é o tensor taxa de deformação (taxa de deformação simétrica), com componentes
- Para um fluido incompressível (caso muito comum: )) a expressão simplifica para
- Portanto a tensão total é
Explanação didática das quantidades:
- ) representa a parte isotrópica que tende a comprimir o fluido.
- ) mede como as velocidades variam localmente: componentes diagonais de ) são extensões/contrações puras e componentes fora da diagonal são taxas de cisalhamento. Multiplicar por ) transforma essas taxas em tensões (forças por área) graças à viscosidade.
Passo 6
Procedimento passo a passo prático para determinar
) num ponto quando se conhece o campo necessário:
- Obter a pressão local ) no ponto de interesse (medida direta ou resultado de equações/condições).
- Obter o campo de velocidade ) no entorno do ponto e calcular suas derivadas parciais ) no ponto.
- Calcular o tensor taxa de deformação ) com ).
- Calcular o tensor desviador ) via lei constitutiva apropriada (por exemplo ) para incompressível newtoniano).
- Montar ). Agora tem‑se todas as componentes ).
- Se precisar da tração sobre um plano de normal ), calcular ).
- Se quiser tensões principais (normais sem componente tangencial), resolver o problema de autovalores simétrico
(autovalores
) são tensões principais e autovetores
) são direções principais). Como
) é simétrico, os autovalores são reais e há um sistema ortonormal de direções principais.
Passo 7
Exemplo simples, bem mastigado, para fixar a ideia: escoamento de cisalhamento simples (entre placas) em regime estacionário incompressível.
- Suponha
) (velocidade no sentido
que varia linearmente com ); ) é a taxa de cisalhamento constante. Suponha pressão uniforme ) e fluido incompressível Newtoniano com viscosidade ). - Calcular ): as derivadas não nulas são ) e por simetria ). Todas as outras componentes de ) são zero.
- Então
) tem
) e outros
) para
ou demais componentes. - Logo a matriz do tensor de tensões fica
- Interpretação: sobre uma face com normal
) a tração é
) — ou seja, a face sofre uma tensão normal compressiva
) e uma tensão tangencial
) no sentido
.]
Passo 8
Observações práticas e experimentais rápidas (para sua prova/uso prático):
- Em fluido em repouso: basta medir a pressão local ); o estado de tensões é ). Isso é muito simples e é a situação mais frequente em estática de fluidos.
- Em escoamentos: o que se mede frequentemente em laboratório é o campo de velocidades (por PIV, anemometria, etc.) e a pressão (sondas). A partir daí calcula‑se ) e monta‑se ) usando a lei constitutiva do fluido.
- Quando o fluido não for newtoniano, a forma de ) difere (dependência não linear das taxas de deformação) e é preciso usar a lei constitutiva apropriada.
Resposta
Determina‑se o estado de tensões no ponto construindo o tensor de tensões
) tal que
) para toda direção
). Em fluidos a decomposição útil é
), onde
) é a pressão (parte isotrópica, em repouso
)) e
) é o tensor desviador (por exemplo, para fluido newtoniano incompressível
) com
)). Assim, dado
),
) e propriedades do fluido, calcula‑se
), obtém‑se
) e monta‑se
); a tração sobre qualquer plano é
) e as tensões principais são os autovalores de
).