Como se pode definir matematicamente um escoamento (1D) uniforme em (X)?
Passo 1
O que o enunciado pede: definir matematicamente o que significa um escoamento unidimensional (1D) ser uniforme em
.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- O escoamento é 1D, ou seja, a velocidade tem apenas a componente na direção
. - Quer-se a definição de "uniforme em
" — ou seja, como expressar isso com equações.
Passo 2
Representação matemática do campo de velocidades em 1D.
Num escoamento 1D a velocidade pode ser escrita como
onde:
-
é a coordenada espacial ao longo da direção , -
é o tempo, -
é a componente escalar da velocidade na direção , -
é o versor na direção .
Aqui eu explico o porquê dessa escrita: em 1D só existe variação ao longo de
, então todo o campo de velocidade é descrito por uma função escalar
. Sempre que aparecer
sem vetor, estamos falando dessa componente.
Passo 3
O que significa "uniforme em
" — definição direta.
Dizemos que o escoamento é uniforme em
quando a velocidade não varia com a posição
. Matematicamente isso se escreve como
Esta condição implica que a função
depende apenas do tempo, portanto existe uma função
tal que
Interpretação física amigável: se você pegar dois pontos diferentes no espaço (do mesmo fluxo), eles têm a mesma velocidade naquele instante — não há gradiente espacial de velocidade.
Passo 4
E se o escoamento também for estacionário (steady)? relação com “uniforme”
Um escoamento é estacionário quando a velocidade não depende do tempo, isto é,
Se o escoamento é ao mesmo tempo uniforme em
(passo anterior) e estacionário, então
ou seja
, uma constante numérica. Em palavras: velocidade igual em todo lugar e em todo tempo.
Passo 5
Exemplos simples para fixar (e como verificar na prova).
- Exemplo estacionário e uniforme:
Verificação:
e
. Logo é uniforme em
e estacionário.
- Exemplo uniforme mas não estacionário:
Verificação:
(não depende de
), mas
em geral. É uniforme em
, mas variável no tempo.
- Exemplo não uniforme:
Verificação:
. Não é uniforme em
.
Dica prática para a prova: calcule
. Se der zero para toda a região de interesse, o escoamento é uniforme em
.
Passo 6
Consequências para conservação de massa (continuidade) — leitura útil para entender implicações.
A equação de continuidade 1D geral (compressível) é
onde
é a densidade. Se
é uniforme em
, isto é
, então
que é uma equação de transporte para
. Observações importantes:
- Se além disso
for espacialmente uniforme ( ), a equação reduz a , portanto é constante no tempo: situação onde tudo é constante. - No caso incompressível 1D, a condição
vira , que é exatamente a definição de uniformidade espacial da velocidade; assim, em 1D incompressível, a velocidade é uniforme em (pelo menos localmente).
Passo 7
Resumo prático: como escrever a definição em uma prova e o que checar.
- Escreva a componente de velocidade e calcule a derivada espacial: se
então o escoamento é uniforme em
.
- Se precisar também checar estacionaridade, calcule
. - Se for pedir consequências (densidade, continuidade), use a equação de continuidade e verifique consistência com as hipóteses (por exemplo, se
e são ambas uniformes em , então ambos são constantes no tempo).
Resposta
Um escoamento 1D é uniforme em
se e somente se
para todo
, isto é,
(independente de
).
Se além disso for estacionário, então e
constante.
Se além disso for estacionário, então