Como se pode definir matematicamente um escoamento (1D) uniforme em (X)?

Passo 1

O que o enunciado pede: definir matematicamente o que significa um escoamento unidimensional (1D) ser uniforme em X.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • O escoamento é 1D, ou seja, a velocidade tem apenas a componente na direção X.
  • Quer-se a definição de "uniforme em X" — ou seja, como expressar isso com equações.

Passo 2

Representação matemática do campo de velocidades em 1D.
Num escoamento 1D a velocidade pode ser escrita como
\mathbf{u}(x,t)=u(x,t)\,\hat{\mathbf{e}}_x,
onde:
  • x é a coordenada espacial ao longo da direção X,
  • t é o tempo,
  • u(x,t) é a componente escalar da velocidade na direção X,
  • \hat{\mathbf{e}}_x é o versor na direção X.
Aqui eu explico o porquê dessa escrita: em 1D só existe variação ao longo de x, então todo o campo de velocidade é descrito por uma função escalar u(x,t). Sempre que aparecer u sem vetor, estamos falando dessa componente.

Passo 3

O que significa "uniforme em X" — definição direta.
Dizemos que o escoamento é uniforme em X quando a velocidade não varia com a posição x. Matematicamente isso se escreve como
\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=0\quad\text{para todo }x,t.
Esta condição implica que a função u(x,t) depende apenas do tempo, portanto existe uma função U(t) tal que
u(x,t)=U(t).
Interpretação física amigável: se você pegar dois pontos diferentes no espaço (do mesmo fluxo), eles têm a mesma velocidade naquele instante — não há gradiente espacial de velocidade.

Passo 4

E se o escoamento também for estacionário (steady)? relação com “uniforme”
Um escoamento é estacionário quando a velocidade não depende do tempo, isto é,
\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=0\quad\text{para todo }x,t.
Se o escoamento é ao mesmo tempo uniforme em X (passo anterior) e estacionário, então
\frac{\partial u}{\partial x}=0\quad\text{e}\quad\frac{\partial u}{\partial t}=0,
ou seja u(x,t)=U_0, uma constante numérica. Em palavras: velocidade igual em todo lugar e em todo tempo.

Passo 5

Exemplos simples para fixar (e como verificar na prova).
  1. Exemplo estacionário e uniforme:
u(x,t)=3.
Verificação: \partial_x u=0 e \partial_t u=0. Logo é uniforme em X e estacionário.
  1. Exemplo uniforme mas não estacionário:
u(x,t)=5\sin(t).
Verificação: \partial_x u=0 (não depende de x), mas \partial_t u=5\cos(t)\neq0 em geral. É uniforme em X, mas variável no tempo.
  1. Exemplo não uniforme:
u(x,t)=2x.
Verificação: \partial_x u=2\neq0. Não é uniforme em X.
Dica prática para a prova: calcule \partial_x u. Se der zero para toda a região de interesse, o escoamento é uniforme em X.

Passo 6

Consequências para conservação de massa (continuidade) — leitura útil para entender implicações.
A equação de continuidade 1D geral (compressível) é
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\rho u)=0,
onde \rho(x,t) é a densidade. Se u é uniforme em X, isto é u(x,t)=U(t), então
\frac{\partial \rho}{\partial t} + U(t)\,\frac{\partial \rho}{\partial x}=0,
que é uma equação de transporte para \rho. Observações importantes:
  • Se além disso \rho for espacialmente uniforme ( \partial_x \rho=0), a equação reduz a \partial_t \rho=0, portanto \rho é constante no tempo: situação onde tudo é constante.
  • No caso incompressível 1D, a condição \nabla\cdot\mathbf{u}=0 vira \partial_x u=0, que é exatamente a definição de uniformidade espacial da velocidade; assim, em 1D incompressível, a velocidade é uniforme em x (pelo menos localmente).

Passo 7

Resumo prático: como escrever a definição em uma prova e o que checar.
  • Escreva a componente de velocidade e calcule a derivada espacial: se
\frac{\partial u}{\partial x}=0
então o escoamento é uniforme em X.
  • Se precisar também checar estacionaridade, calcule \partial_t u.
  • Se for pedir consequências (densidade, continuidade), use a equação de continuidade e verifique consistência com as hipóteses (por exemplo, se u e \rho são ambas uniformes em x, então ambos são constantes no tempo).

Resposta

Um escoamento 1D é uniforme em X se e somente se \dfrac{\partial u}{\partial x}(x,t)=0 para todo x,t, isto é, u(x,t)=U(t) (independente de x).
Se além disso for estacionário, então \dfrac{\partial u}{\partial t}=0 e u(x,t)=U_0 constante.

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