Pode-se mostrar que a solução do sistema a seguir é x_{1}=3, x_{2}=2 e x_{3}=-1. Use este fato e a teoria vista em aula para explicar por que x_{1}=30, x_{2}=20 e x_{3}=-10 é outra solução. (Observe como as soluções estão relacionadas, mas não faça outros cálculos).
\begin{cases}x_{1}-3 x_{2}-3 x_{3} & =0 \\ -2 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3} & =0 \\ -x_{1}+5 x_{2}+7 x_{3} & =0\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} x_{1}-3x_{2}-3x_{3}=0,\\\\ -2x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=0,\\\\ -x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=0, \end{cases}
e afirma que (x_{1},x_{2},x_{3})=(3,2,-1) é uma solução. A teoria vista em aula diz respeito a sistemas lineares homogêneos e suas propriedades de espaço vetorial.

Passo 2

Para um sistema homogêneo da forma
A\mathbf{x}=\mathbf{0},
sabemos que o conjunto de soluções forma um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Em particular, esse conjunto é fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{x} resolve A\mathbf{x}=\mathbf{0}, então para qualquer escalar k vale
A(k\mathbf{x}) = k\,A\mathbf{x} = k\,\mathbf{0}=\mathbf{0},
logo k\mathbf{x} também é solução.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao vetor solução dado, tomamos o escalar k=10 e multiplicamos componente a componente em (3,2,-1). Assim,
10\,(3,2,-1) = (30,20,-10).

Passo 4

Como o sistema é homogêneo, qualquer múltiplo escalar de uma solução é também solução. Portanto (30,20,-10) satisfaz o mesmo sistema sem precisar refazer cálculos.

Resposta

O vetor (30,20,-10) é simplesmente 10 vezes a solução (3,2,-1), e em sistemas homogêneos isso garante que seja outra solução.

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