Denote por \boldsymbol{a}_{\mathbf{1}}, \ldots, \boldsymbol{a}_{\mathbf{5}} as colunas da matriz A, em que:
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 5 & 1 & 2 & 2 & 0 \\\\ 3 & 3 & 2 & -1 & -12 \\\\ 8 & 4 & 4 & -5 & 12 \\\\ 2 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right]
e B=\left[\begin{array}{lll}\boldsymbol{a}_{\mathbf{1}} & \boldsymbol{a}_{\mathbf{2}} & \boldsymbol{a}_{\mathbf{4}}\end{array}\right].
  • Explique por que \boldsymbol{a}_{\mathbf{3}} e \boldsymbol{a}_{\mathbf{5}} pertencem ao espaço das colunas de B;

Passo 1

O enunciado define as colunas \boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_5 de
A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 & 2 & 0\\\\ 3 & 3 & 2 & -1 & -12\\\\ 8 & 4 & 4 & -5 & 12\\\\ 2 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}
e toma
B=\bigl[\boldsymbol{a}_1\;\boldsymbol{a}_2\;\boldsymbol{a}_4\bigr].
Queremos mostrar que \boldsymbol{a}_3 e \boldsymbol{a}_5 estão em \mathrm{Col}(B), isto é, que podem ser escritas como combinações lineares de \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_4.

Passo 2

Para \boldsymbol{a}_3\) buscamos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha\,\boldsymbol{a}_1+\beta\,\boldsymbol{a}_2+\gamma\,\boldsymbol{a}_4 =\boldsymbol{a}_3.
Escrevendo as componentes, obtemos o sistema
\begin{cases} 5\alpha+\beta+2\gamma=2,\\\\ 3\alpha+3\beta-\gamma=2,\\\\ 8\alpha+4\beta-5\gamma=4,\\\\ 2\alpha+\beta=1. \end{cases}
Resolvendo, achamos \alpha=\tfrac13\], \(\beta=\tfrac13, \gamma=0,
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\boldsymbol{a}_3=\tfrac13\,\boldsymbol{a}_1+\tfrac13\,\boldsymbol{a}_2.

Passo 3

Para \boldsymbol{a}_5\) buscamos \(\delta,\epsilon,\zeta\) tais que \[\delta\,\boldsymbol{a}_1+\epsilon\,\boldsymbol{a}_2+\zeta\,\boldsymbol{a}_4 =\boldsymbol{a}_5.
As equações são
\begin{cases} 5\delta+\epsilon+2\zeta=0,\\\\ 3\delta+3\epsilon-\zeta=-12,\\\\ 8\delta+4\epsilon-5\zeta=12,\\\\ 2\delta+\epsilon=-2. \end{cases}
Da resolução vem \delta=\tfrac{10}{3}\], \(\epsilon=-\tfrac{26}{3}, \zeta=-4,
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\boldsymbol{a}_5 =\tfrac{10}{3}\,\boldsymbol{a}_1 -\tfrac{26}{3}\,\boldsymbol{a}_2 -4\,\boldsymbol{a}_4.

Passo 4

Exibimos expressões de \boldsymbol{a}_3 e \boldsymbol{a}_5 como combinação de \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_4. Portanto \boldsymbol{a}_3 e \boldsymbol{a}_5 pertencem ao espaço das colunas de B.

Resposta

\boldsymbol{a}_3=\tfrac13\,\boldsymbol{a}_1+\tfrac13\,\boldsymbol{a}_2,\quad \boldsymbol{a}_5=\tfrac{10}{3}\,\boldsymbol{a}_1-\tfrac{26}{3}\,\boldsymbol{a}_2-4\,\boldsymbol{a}_4.

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