Sejam A=\left[\begin{array}{ll}-2 & 4 \\\\ -1 & 2\end{array}\right] e \boldsymbol{w}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1\end{array}\right]. Determine se \boldsymbol{w} pertence à \operatorname{Col}(A). Pertence \boldsymbol{w} à \operatorname{Nul}(A) ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}-2 & 4\\\ -1 & 2\end{pmatrix}
e o vetor
\boldsymbol w = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Queremos decidir se \boldsymbol w pertence à \mathrm{Col}(A) (ou seja, se existe x tal que Ax=\boldsymbol w) e se \boldsymbol w pertence à \mathrm{Nul}(A) (ou seja, se A\boldsymbol w=\boldsymbol 0).

Passo 2

Para ver se \boldsymbol w\in\mathrm{Col}(A)\) resolvemos o sistema \[A\,\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -2x_1 + 4x_2 = 2,\\\\ -\,x_1 + 2x_2 = 1. \end{cases}
Note que a segunda equação multiplicada por -2\] dá \[2x_1 -4x_2 = -2,\] que é exatamente a negada da primeira. Logo o sistema é compatível e tem infinitas soluções (por exemplo \(x_1=2x_2-1). Portanto \boldsymbol w\in\mathrm{Col}(A).

Passo 3

Para ver se \boldsymbol w\in\mathrm{Nul}(A) calculamos
A\,\boldsymbol w =\begin{pmatrix}-2 & 4\\\ -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\cdot2 + 4\cdot1\\[-4pt] -1\cdot2 + 2\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Como A\,\boldsymbol w=\boldsymbol0, concluímos que \boldsymbol w\in\mathrm{Nul}(A).]

Resposta

Sim, \boldsymbol w pertence a \mathrm{Col}(A).
Sim, \boldsymbol w pertence a \mathrm{Nul}(A).

Exercícios relacionados