O que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det} \operatorname{det}(A), sabendo-se que A é uma matriz n \times n tal que
A^{-1}=A^{\mathrm{t}}

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n tal que
A^{-1}=A^{\mathrm{t}}.
O que nos pedem é tirar uma conclusão sobre o valor de \det(A) (a frase original escreveu \operatorname{det}\operatorname{det}(A), mas a interpretação natural e consistente é: o que se pode dizer sobre \det(A) sabendo A^{-1}=A^{\mathrm{t}}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é inversível (pois A^{-1} existe).
  • Tem-se a igualdade matricial A^{-1}=A^{\mathrm{t}}.

Passo 2

Vou recordar duas propriedades básicas e muito úteis do determinante — explico por quê e como usá-las:
  1. Para qualquer matriz quadrada invertível B,
\det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}.
Justificativa: multiplique B por B^{-1} e tome determinante dos dois lados. Tem-se \det(BB^{-1})=\det(I)=1. Pela multiplicatividade do determinante \det(B)\det(B^{-1})=1, daí \det(B^{-1})=1/\det(B).
2. Para qualquer matriz quadrada B,
\det(B^{\mathrm{t}})=\det(B).
Justificativa/intuição: transpor troca linhas por colunas; o valor absoluto do determinante (o volume orientado) não muda; formalmente pode-se provar usando a definição do determinante por permutações ou propriedades multilineares.
Essas duas fórmulas são as ferramentas que vamos aplicar à igualdade A^{-1}=A^{\mathrm{t}}.

Passo 3

Aplique determinante à igualdade dada A^{-1}=A^{\mathrm{t}}. Como a função \det(\cdot) é bem definida para ambas as matrizes, obtemos
\det\!\bigl(A^{-1}\bigr)=\det\!\bigl(A^{\mathrm{t}}\bigr).

Passo 4

Use as propriedades do Passo 2 para reescrever cada lado:
  • Pelo item 1 do Passo 2, \det\!\bigl(A^{-1}\bigr)=\dfrac{1}{\det(A)}.
  • Pelo item 2 do Passo 2, \det\!\bigl(A^{\mathrm{t}}\bigr)=\det(A).
Substituindo na igualdade do Passo 3:
\frac{1}{\det(A)}=\det(A).

Passo 5

Resolva a equação escalar obtida:
\frac{1}{\det(A)}=\det(A)\quad\Longrightarrow\quad \bigl(\det(A)\bigr)^2=1.
Daí
\det(A)=\pm 1.
Também é consistente com o fato de A ser inversível: \det(A)\neq 0, o que exclui outras soluções (por exemplo zero).

Passo 6

Interpretação e exemplos rápidos (para fixar): matrizes que satisfazem A^{-1}=A^{\mathrm{t}} são exatamente as matrizes ortogonais. Para uma matriz ortogonal, o determinante mede se a transformação é uma rotação própria ( \det(A)=1) ou uma reflexão/rotação imprópria ( \det(A)=-1). Exemplos:
  • Identidade I: \det(I)=1 e I^{-1}=I^{\mathrm{t}}=I.
  • Matriz de reflexão em \mathbb{R}^2, por exemplo \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}: tem \det=-1 e é igual à sua transposta e inversa.
Força aí — o resultado é simples e muito usado: se A^{-1}=A^{\mathrm{t}}, então \det(A)=\pm1.]

Resposta

\det(A)=\pm1

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