O que pode ser dito sobre o valor
, sabendo-se que
é uma matriz
tal que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
tal que
O que nos pedem é tirar uma conclusão sobre o valor de
(a frase original escreveu
, mas a interpretação natural e consistente é: o que se pode dizer sobre
sabendo
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é inversível (pois existe). - Tem-se a igualdade matricial
.
Passo 2
Vou recordar duas propriedades básicas e muito úteis do determinante — explico por quê e como usá-las:
- Para qualquer matriz quadrada invertível
,
Justificativa: multiplique
por
e tome determinante dos dois lados. Tem-se
. Pela multiplicatividade do determinante
, daí
.
2. Para qualquer matriz quadrada ,
2. Para qualquer matriz quadrada
Justificativa/intuição: transpor troca linhas por colunas; o valor absoluto do determinante (o volume orientado) não muda; formalmente pode-se provar usando a definição do determinante por permutações ou propriedades multilineares.
Essas duas fórmulas são as ferramentas que vamos aplicar à igualdade
.
Passo 3
Aplique determinante à igualdade dada
. Como a função
é bem definida para ambas as matrizes, obtemos
Passo 4
Use as propriedades do Passo 2 para reescrever cada lado:
- Pelo item 1 do Passo 2,
. - Pelo item 2 do Passo 2,
.
Substituindo na igualdade do Passo 3:
Passo 5
Resolva a equação escalar obtida:
Daí
Também é consistente com o fato de
ser inversível:
, o que exclui outras soluções (por exemplo zero).
Passo 6
Interpretação e exemplos rápidos (para fixar): matrizes que satisfazem
são exatamente as matrizes ortogonais. Para uma matriz ortogonal, o determinante mede se a transformação é uma rotação própria (
) ou uma reflexão/rotação imprópria (
). Exemplos:
- Identidade
: e . - Matriz de reflexão em
, por exemplo : tem e é igual à sua transposta e inversa.
Força aí — o resultado é simples e muito usado: se
, então
.]