O que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det} \operatorname{det}(A), sabendo-se que A é uma matriz n \times n tal que
A^{3}=A

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz n\times n e que
A^{3}=A.
A pergunta é: o que pode ser dito sobre o valor de \det(A) a partir dessa informação?

Passo 2

Lembra de uma propriedade fundamental do determinante: para quaisquer matrizes quadradas X e Y da mesma ordem vale
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Isto significa que o determinante transforma produto de matrizes em produto dos determinantes (essa propriedade vale quando se trabalha sobre um corpo usual, por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Além disso, o determinante da matriz identidade I é
\det(I)=1.

Passo 3

Aplique a função \det à igualdade dada A^{3}=A. Usando a propriedade multiplicativa do determinante, tem-se
\det(A^{3})=\det(A).
Mas \det(A^{3})=\det(A\cdot A\cdot A)=\det(A)\det(A)\det(A)=\det(A)^{3}. Então obtemos a equação escalar
\det(A)^{3}=\det(A).

Passo 4

Resolvendo a equação escalar \det(A)^{3}=\det(A) obtemos
\det(A)^{3}-\det(A)=0.
Fatorando o lado esquerdo:
\det(A)\bigl(\det(A)-1\bigr)\bigl(\det(A)+1\bigr)=0.
Logo o número \det(A) é uma raiz do polinômio x(x-1)(x+1), ou seja
\det(A)\in\{-1,0,1\}.

Passo 5

Para fixar a ideia, veja exemplos concretos que mostram que os três valores são possíveis:
  • \det(A)=0: a matriz nula A=0 satisfaz A^{3}=0=A e \det(0)=0.
  • \det(A)=1: a identidade A=I satisfaz I^{3}=I e \det(I)=1.
  • \det(A)=-1: para n=1 basta A=[-1], pois (-1)^{3}=-1; para n\ge 1 pode-se tomar A=\operatorname{diag}(-1,1,\dots,1), que satisfaz A^{3}=A e tem \det(A)=-1.

Passo 6

Breve observação técnica: a conclusão \det(A)\in\{-1,0,1\} foi feita assumindo o contexto habitual (entradas em \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Em corpos de característica 2 a igualdade -1=1 faz com que a equação tenha apenas as raízes 0 e 1; normalmente, porém, o contexto da Álgebra Linear padrão é sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}, onde os três valores distintos são possíveis.

Resposta

\det(A)\in\{-1,0,1\}

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