O que pode ser dito sobre o valor
, sabendo-se que
é uma matriz
tal que
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz
e que
A pergunta é: o que pode ser dito sobre o valor de
a partir dessa informação?
Passo 2
Lembra de uma propriedade fundamental do determinante: para quaisquer matrizes quadradas
e
da mesma ordem vale
Isto significa que o determinante transforma produto de matrizes em produto dos determinantes (essa propriedade vale quando se trabalha sobre um corpo usual, por exemplo
ou
). Além disso, o determinante da matriz identidade
é
Passo 3
Aplique a função
à igualdade dada
. Usando a propriedade multiplicativa do determinante, tem-se
Mas
. Então obtemos a equação escalar
Passo 4
Resolvendo a equação escalar
obtemos
Fatorando o lado esquerdo:
Logo o número
é uma raiz do polinômio
, ou seja
Passo 5
Para fixar a ideia, veja exemplos concretos que mostram que os três valores são possíveis:
-
: a matriz nula satisfaz e . -
: a identidade satisfaz e . -
: para basta , pois ; para pode-se tomar , que satisfaz e tem .
Passo 6
Breve observação técnica: a conclusão
foi feita assumindo o contexto habitual (entradas em
ou
). Em corpos de característica
a igualdade
faz com que a equação tenha apenas as raízes
e
; normalmente, porém, o contexto da Álgebra Linear padrão é sobre
ou
, onde os três valores distintos são possíveis.