1. Podemos acrescentar à lista de 11 propriedades de determinantes ainda mais duas propriedades: veja:
D12 - Se A \in M_{n}(\Re) é inversível, então
\operatorname{det} A^{-1}=(\operatorname{det} A)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}
D13 - Se A \in M_{n}(\Re) é ortogonal, então
\operatorname{det} A^{-1}=1 \text { ou }-1
Use as propriedades anteriores, bem como outras informações mais já disponibilizadas em nossas listas anteriores para demonstrar, matematicamente, estas duas propriedades.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar matematicamente duas propriedades (peguei-as do enunciado):
  • D12: Se A\in M_{n}(\Re) é inversível, então \operatorname{det}A^{-1}=(\operatorname{det}A)^{-1}=\dfrac{1}{\operatorname{det}A}.
  • D13: Se A\in M_{n}(\Re) é ortogonal, então \operatorname{det}A^{-1}=1 ou -1.
Informações e propriedades que vou usar (todas são dadas ou já conhecidas):
  • Definição de inversível: A é inversível se existe A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I, sendo I a matriz identidade.
  • Propriedade multiplicativa do determinante: para quaisquer A,B\in M_{n}(\Re) vale \operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}A\cdot\operatorname{det}B.
  • Determinante da identidade: \operatorname{det}I=1.
  • Caracterização da invertibilidade: A é invertível se, e somente se, \operatorname{det}A\neq0.
  • Propriedade do transposto: para A\in M_{n}(\Re) vale \operatorname{det}(A^{T})=\operatorname{det}A.
  • Definição de ortogonal: A é ortogonal se A^{T}A=I (equivalente a A^{-1}=A^{T}).

Passo 2

Antes de provar D12, vamos entender e justificar a ferramenta principal que usarei: a propriedade multiplicativa do determinante.
  • O determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada A um número \operatorname{det}A. Uma interpretação geométrica é: \operatorname{det}A mede o fator de escala (com sinal) que a transformação linear representada por A aplica a volumes orientados no espaço.
  • A propriedade multiplicativa \operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}A\cdot\operatorname{det}B diz, concretamente, que primeiro aplicar B e depois A multiplica volumes por \operatorname{det}B e depois por \operatorname{det}A, logo o fator total é o produto.
  • Um exemplo numérico simples para fixar a ideia: se A=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&3\end{pmatrix} então \operatorname{det}A=2\cdot3=6. Se B=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&4\end{pmatrix} então \operatorname{det}B=4. O produto AB=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&12\end{pmatrix} tem determinante 24, que é justamente 6\cdot4.]

Passo 3

Demonstração de D12 (passo a passo e bem didático).
  • Começo com a hipótese: A é inversível, ou seja existe A^{-1} tal que
A A^{-1}=I.
  • Aplico o determinante em ambos os lados dessa igualdade. Pela propriedade multiplicativa,
\operatorname{det}(A A^{-1})=\operatorname{det}I.
  • Pela multiplicatividade isso vira
\operatorname{det}A\cdot\operatorname{det}A^{-1}=\operatorname{det}I.
  • Sei que \operatorname{det}I=1, portanto
\operatorname{det}A\cdot\operatorname{det}A^{-1}=1.
  • Como A é inversível, vale a caracterização \operatorname{det}A\neq0. Assim posso dividir ambos os lados por \operatorname{det}A e obtenho
\operatorname{det}A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}A}.
  • Em notação alternativa, isso é \operatorname{det}A^{-1}=(\operatorname{det}A)^{-1}. Isso conclui D12.

Passo 4

Antes de provar D13, explico a propriedade do transposto que vou usar:
  • Para qualquer A\in M_{n}(\Re) tem-se \operatorname{det}(A^{T})=\operatorname{det}A. Intuitivamente, transpor troca linhas por colunas; o determinante, sendo uma função multilinear alternada das linhas (ou das colunas), tem o mesmo valor quando aplicado às colunas em vez das linhas. Um exemplo simples: para 2\times2 com A=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix} temos \operatorname{det}A=ad-bc e A^{T}=\begin{pmatrix}a&c\\[2pt]b&d\end{pmatrix} também tem determinante ad-bc.]

Passo 5

Demonstração de D13 (passo a passo).
  • Suponha que A é ortogonal. Pela definição de ortogonal,
A^{T}A=I.
  • Tomando determinante em ambos os lados e usando multiplicatividade,
\operatorname{det}(A^{T}A)=\operatorname{det}I.
  • Pela multiplicatividade e pela propriedade do transposto isso dá
\operatorname{det}(A^{T})\cdot\operatorname{det}A=(\operatorname{det}A)\cdot(\operatorname{det}A)=\operatorname{det}A^{2}=\operatorname{det}I.
  • Como \operatorname{det}I=1 obtemos
(\operatorname{det}A)^{2}=1.
  • Resolvendo essa equação escalar vem
\operatorname{det}A=1\quad\text{ou}\quad\operatorname{det}A=-1.
  • Usando D12 (já demonstrada), \operatorname{det}A^{-1}=\dfrac{1}{\operatorname{det}A}. Como \operatorname{det}A=\pm1, segue que \operatorname{det}A^{-1}=\pm1 também. Assim D13 está demonstrada.

Passo 6

Ilustração rápida para fixar a intuição (sem exigir prova adicional):
  • Uma rotação em \Re^{2} tem matriz
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[2pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
que é ortogonal e tem \operatorname{det}R(\theta)=1 (preserva orientação e área).
  • Uma reflexão em torno de um eixo, por exemplo
S=\begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix},
é ortogonal e tem \operatorname{det}S=-1 (inverte a orientação). Isso mostra na prática os dois casos possíveis para matrizes ortogonais.]

Resposta

\operatorname{det}A^{-1}=(\operatorname{det}A)^{-1}=\dfrac{1}{\operatorname{det}A}\n
\operatorname{det}A^{-1}=1\\ \text{ou}\\\ -1

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