- Podemos acrescentar à lista de 11 propriedades de determinantes ainda mais duas propriedades: veja:
D12 - Se
é inversível, então
D13 - Se
é ortogonal, então
Use as propriedades anteriores, bem como outras informações mais já disponibilizadas em nossas listas anteriores para demonstrar, matematicamente, estas duas propriedades.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar matematicamente duas propriedades (peguei-as do enunciado):
- D12: Se
é inversível, então . - D13: Se
é ortogonal, então ou .
Informações e propriedades que vou usar (todas são dadas ou já conhecidas):
- Definição de inversível:
é inversível se existe tal que , sendo a matriz identidade. - Propriedade multiplicativa do determinante: para quaisquer
vale . - Determinante da identidade:
. - Caracterização da invertibilidade:
é invertível se, e somente se, . - Propriedade do transposto: para
vale . - Definição de ortogonal:
é ortogonal se (equivalente a ).
Passo 2
Antes de provar D12, vamos entender e justificar a ferramenta principal que usarei: a propriedade multiplicativa do determinante.
- O determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada
um número . Uma interpretação geométrica é: mede o fator de escala (com sinal) que a transformação linear representada por aplica a volumes orientados no espaço. - A propriedade multiplicativa
diz, concretamente, que primeiro aplicar e depois multiplica volumes por e depois por , logo o fator total é o produto. - Um exemplo numérico simples para fixar a ideia: se
então . Se então . O produto tem determinante , que é justamente .]
Passo 3
Demonstração de D12 (passo a passo e bem didático).
- Começo com a hipótese:
é inversível, ou seja existe tal que
- Aplico o determinante em ambos os lados dessa igualdade. Pela propriedade multiplicativa,
- Pela multiplicatividade isso vira
- Sei que
, portanto
- Como
é inversível, vale a caracterização . Assim posso dividir ambos os lados por e obtenho
- Em notação alternativa, isso é
. Isso conclui D12.
Passo 4
Antes de provar D13, explico a propriedade do transposto que vou usar:
- Para qualquer
tem-se . Intuitivamente, transpor troca linhas por colunas; o determinante, sendo uma função multilinear alternada das linhas (ou das colunas), tem o mesmo valor quando aplicado às colunas em vez das linhas. Um exemplo simples: para com temos e também tem determinante .]
Passo 5
Demonstração de D13 (passo a passo).
- Suponha que
é ortogonal. Pela definição de ortogonal,
- Tomando determinante em ambos os lados e usando multiplicatividade,
- Pela multiplicatividade e pela propriedade do transposto isso dá
- Como
obtemos
- Resolvendo essa equação escalar vem
- Usando D12 (já demonstrada),
. Como , segue que também. Assim D13 está demonstrada.
Passo 6
Ilustração rápida para fixar a intuição (sem exigir prova adicional):
- Uma rotação em
tem matriz
que é ortogonal e tem
(preserva orientação e área).
- Uma reflexão em torno de um eixo, por exemplo
é ortogonal e tem
(inverte a orientação). Isso mostra na prática os dois casos possíveis para matrizes ortogonais.]