Encontre o valor dos determinantes dados a seguir
\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 9 \\\\ 1 & 2 & 7 \\\\ 1 & 5 & 13\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz 3\times3
\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 9 \\[4pt] 1 & 2 & 7 \\[4pt] 1 & 5 & 13\end{array}\right|.
Dados relevantes (peguei diretamente do enunciado):
  • Primeira linha: \,1,\;3,\;9.
  • Segunda linha: \,1,\;2,\;7.
  • Terceira linha: \,1,\;5,\;13.
O que é pedido: calcular o valor numérico desse determinante.]

Passo 2

Uma forma direta e muito usada para determinantes 3\times3 é a regra de Sarrus. Ela diz que, para a matriz
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
o determinante é
\det = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Explicando bem devagar: são as somas dos produtos das três diagonais que “descem à direita” (primeiro parêntese) menos a soma dos produtos das três diagonais que “descem à esquerda” (segundo parêntese). Cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j.]

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à nossa matriz, identificamos:
a_{11}=1,\; a_{12}=3,\; a_{13}=9,
a_{21}=1,\; a_{22}=2,\; a_{23}=7,
a_{31}=1,\; a_{32}=5,\; a_{33}=13.
Calculo das diagonais que somam (parte positiva):
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot2\cdot13=26,
a_{12}a_{23}a_{31}=3\cdot7\cdot1=21,
a_{13}a_{21}a_{32}=9\cdot1\cdot5=45.
Soma dessas três contribuições:
26+21+45=92.

Passo 4

Agora as diagonais que subtraem (parte negativa):
a_{13}a_{22}a_{31}=9\cdot2\cdot1=18,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot7\cdot5=35,
a_{12}a_{21}a_{33}=3\cdot1\cdot13=39.
Soma dessas três:
18+35+39=92.

Passo 5

Subtraindo as duas somas segundo Sarrus:
\det = 92 - 92 = 0.
Portanto o determinante vale zero. Isso indica que a matriz é singular (não tem inversa).

Passo 6

Para fixar a ideia, uma verificação alternativa e conceitual: se as linhas são linearmente dependentes, o determinante é zero. Verificando as linhas
r_1=(1,3,9),\quad r_2=(1,2,7),\quad r_3=(1,5,13),
vemos que
r_1 - r_2 = (0,1,2),
r_3 - r_1 = (0,2,4) = 2\,(0,1,2)=2\,(r_1 - r_2).
Isto implica que r_3 = r_1 + 2(r_1 - r_2)=3r_1-2r_2, ou seja, r_3 é combinação linear das outras duas linhas. Essa dependência linear confirma que o determinante deve ser zero — consistência com o cálculo anterior.

Resposta

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