Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
A matriz é \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1+x & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1+y\end{pmatrix}.
As incógnitas são x e y, e o objetivo é encontrar o valor do determinante em termos de x e y.]
Passo 2
Vamos escolher um método prático: usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz antes de calcular o determinante. Lembrete importante sobre operações de linhas e determinantes:
Se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por um escalar (por exemplo, L_i \leftarrow L_i + cL_j com i\neq j), o determinante NÃO se altera.
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Essas propriedades nos permitem transformar a matriz em uma forma mais simples sem mudar (ou controlando como muda) o determinante. Aqui usaremos apenas operações do tipo L_i \leftarrow L_i - L_1, que não alteram o determinante.
Passo 3
Aplicar as operações de linha que simplificam: subtrair a primeira linha da segunda e da terceira:
Portanto o determinante é igual ao determinante da matriz transformada:
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & x & 0 \\\\ 0 & 0 & y \end{array}\right|.
Passo 5
Observação sobre matrizes triangulares: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso decorre da expansão por cofatores ou da definição algébrica do determinante. Aqui a matriz é superior-triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e a diagonal principal é \{1,\;x,\;y\}.
Logo o determinante da matriz triangular é
1\cdot x \cdot y.
Passo 6
Concluir o cálculo: multiplicando os elementos da diagonal obtemos
1\cdot x\cdot y = xy.
Como as operações de linhas realizadas não alteraram o determinante, esse é exatamente o determinante original.
Passo 7
Verificação rápida alternativa (opcional, para ganhar confiança): usar a regra de Sarrus ou expansão por Laplace na matriz original daria o mesmo resultado; aqui a operação de linhas foi a forma mais rápida e limpa.