Podemos definir uma correspondência biunívoca entre os elementos de
e
por
Mostre que se
e
, então [Em geral, dois espaços vetoriais são ditos isomórficos se seus elementos podem ser postos em uma correspondência biunívoca, que é preservada sob multíplicação por escalar e adição como em (a) e (b).]
.
Passo 1
O enunciado dá uma correspondência biunívoca entre polinômios de grau menor que
(denotados por
) e vetores de
. Especificamente, cada polinômio
é associado ao vetor coluna
O que se pede: mostrar que, se
e
, então a soma dos polinômios corresponde à soma dos vetores, ou seja
Informações relevantes dadas:
- As componentes dos vetores
e são exatamente os coeficientes dos polinômios e , na ordem crescente das potências de . - A soma em
é a soma usual de polinômios (soma dos coeficientes de mesma potência). - A soma em
é a soma componente a componente.
Passo 2
Definir formalmente a correspondência (apenas para ficar claro o que estamos usando). Seja a aplicação
definida por
Essa é exatamente a biunívoca mencionada no enunciado: associa o polinômio aos seus coeficientes.
Passo 3
Escrever os dois polinômios em termos de suas componentes. Se
e
, então
com
Passo 4
Calcular a soma dos polinômios em
. A soma de polinômios é feita somando coeficiente a coeficiente para cada potência de
. Assim
Ou seja, o polinômio resultante tem como coeficientes
.
Passo 5
Calcular a soma dos vetores em
. A soma vetorial é componente a componente, então
Passo 6
Comparar os resultados dos passos anteriores. O polinômio
tem coeficientes exatamente iguais às componentes do vetor
. Pela definição da correspondência
, isso significa
ou, escrevendo em termos da flecha do enunciado,
Esse passo demonstra que a correspondência preserva a operação de soma, isto é, é linear em relação à adição.