Podemos definir uma correspondência biunívoca entre os elementos de P_{n} e \mathbb{R}^{n} por
\begin{aligned} & p(x)=a_{1}+a_{2} x+\cdots+a_{n} x^{n-1} \\\ & \leftrightarrow\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)^{T}=\mathbf{a} \end{aligned}
Mostre que se p \leftrightarrow \mathbf{a} e q \leftrightarrow \mathbf{b}, então [Em geral, dois espaços vetoriais são ditos isomórficos se seus elementos podem ser postos em uma correspondência biunívoca, que é preservada sob multíplicação por escalar e adição como em (a) e (b).]
p+q \leftrightarrow \mathbf{a}+\mathbf{b}.

Passo 1

O enunciado dá uma correspondência biunívoca entre polinômios de grau menor que n (denotados por P_{n}) e vetores de \mathbb{R}^{n}. Especificamente, cada polinômio
p(x)=a_{1}+a_{2}x+\cdots+a_{n}x^{n-1}
é associado ao vetor coluna
\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)^{T}=\mathbf{a}.
O que se pede: mostrar que, se p\leftrightarrow\mathbf{a} e q\leftrightarrow\mathbf{b}, então a soma dos polinômios corresponde à soma dos vetores, ou seja
p+q\leftrightarrow\mathbf{a}+\mathbf{b}.
Informações relevantes dadas:
  • As componentes dos vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} são exatamente os coeficientes dos polinômios p e q, na ordem crescente das potências de x.
  • A soma em P_{n} é a soma usual de polinômios (soma dos coeficientes de mesma potência).
  • A soma em \mathbb{R}^{n} é a soma componente a componente.

Passo 2

Definir formalmente a correspondência (apenas para ficar claro o que estamos usando). Seja a aplicação
\varphi\colon P_{n}\to\mathbb{R}^{n}
definida por
\varphi\bigl(p(x)\bigr)=\varphi\!\left(a_{1}+a_{2}x+\cdots+a_{n}x^{n-1}\right)=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)^{T}.
Essa é exatamente a biunívoca mencionada no enunciado: associa o polinômio aos seus coeficientes.

Passo 3

Escrever os dois polinômios em termos de suas componentes. Se p\leftrightarrow\mathbf{a} e q\leftrightarrow\mathbf{b}, então
p(x)=a_{1}+a_{2}x+\cdots+a_{n}x^{n-1}, \qquad q(x)=b_{1}+b_{2}x+\cdots+b_{n}x^{n-1},
com
\mathbf{a}=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)^{T}, \qquad \mathbf{b}=\left(b_{1},\ldots,b_{n}\right)^{T}.

Passo 4

Calcular a soma dos polinômios em P_{n}. A soma de polinômios é feita somando coeficiente a coeficiente para cada potência de x. Assim
p(x)+q(x)=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})x+\cdots+(a_{n}+b_{n})x^{n-1}.
Ou seja, o polinômio resultante tem como coeficientes (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots,a_{n}+b_{n}).

Passo 5

Calcular a soma dos vetores em \mathbb{R}^{n}. A soma vetorial é componente a componente, então
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left(a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2},\,\ldots,\,a_{n}+b_{n}\right)^{T}.

Passo 6

Comparar os resultados dos passos anteriores. O polinômio p+q tem coeficientes exatamente iguais às componentes do vetor \mathbf{a}+\mathbf{b}. Pela definição da correspondência \varphi, isso significa
\varphi\bigl(p+q\bigr)=\mathbf{a}+\mathbf{b},
ou, escrevendo em termos da flecha do enunciado,
p+q\leftrightarrow\mathbf{a}+\mathbf{b}.
Esse passo demonstra que a correspondência preserva a operação de soma, isto é, é linear em relação à adição.

Resposta

p+q \leftrightarrow \mathbf{a}+\mathbf{b}

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