Podemos definir uma correspondência biunívoca entre os elementos de
e
por
Mostre que se
e
, então [Em geral, dois espaços vetoriais são ditos isomórficos se seus elementos podem ser postos em uma correspondência biunívoca, que é preservada sob multíplicação por escalar e adição como em (a) e (b).]
a para qualquer escalar
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma correspondência biunívoca entre polinômios de grau menor que
e vetores em
. Mais precisamente:
- Um polinômio
é escrito como
onde cada coeficiente
é um número real.
- Ao polinômio
corresponde o vetor coluna
O enunciado pede que mostremos a seguinte propriedade: se
, então para qualquer escalar
vale
Dados relevantes listados:
-
e . - Queremos provar a igualdade entre a operação de multiplicar o polinômio por um escalar e a operação de multiplicar o vetor de coeficientes por esse escalar.
Passo 2
Definições e notação que vamos usar (explicadas com calma):
-
é um escalar real qualquer. - A multiplicação de um polinômio
por é a função definida ponto a ponto por
Isto significa: multiplica-se o valor do polinômio por
para cada
.
- A multiplicação de um vetor
por em é o vetor obtido multiplicando cada componente por :
Estas são as definições padrão de multiplicação por escalar em cada espaço; agora vamos aplicá-las ao polinômio
e ao vetor
.
Passo 3
Calculemos explicitamente
usando a expressão de
. Substituindo:
Distribuindo o escalar
sobre a soma (propriedade distributiva dos reais) obtemos:
Passo 4
Interpretando o resultado do passo anterior: a expressão de
mostra que os coeficientes do polinômio
são exatamente
. Portanto, pelo modo como a correspondência foi definida (cada polinômio corresponde ao vetor de seus coeficientes), o vetor de coeficientes de
é
que, pela definição de multiplicação escalar em
, é exatamente
.
Passo 5
Conclusão lógica: a correspondência que envia
preserva a multiplicação por escalar, porque multiplicar
por
corresponde a multiplicar cada coeficiente por
, isto é, a multiplicação escalar do vetor
. Assim mostramos que
para todo escalar
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional mas didático):
- Tome
, (logo ). - Seja
. Então . - O vetor de coeficientes de
é , que é .
Isto confirma concretamente o que provamos simbolicamente.