Podemos definir uma correspondência biunívoca entre os elementos de P_{n} e \mathbb{R}^{n} por
\begin{aligned} & p(x)=a_{1}+a_{2} x+\cdots+a_{n} x^{n-1} \\\ & \leftrightarrow\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)^{T}=\mathbf{a} \end{aligned}
Mostre que se p \leftrightarrow \mathbf{a} e q \leftrightarrow \mathbf{b}, então [Em geral, dois espaços vetoriais são ditos isomórficos se seus elementos podem ser postos em uma correspondência biunívoca, que é preservada sob multíplicação por escalar e adição como em (a) e (b).]
\alpha p \leftrightarrow \alpha a para qualquer escalar \alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá uma correspondência biunívoca entre polinômios de grau menor que n e vetores em \mathbb{R}^{n}. Mais precisamente:
  • Um polinômio p é escrito como
p(x)=a_{1}+a_{2}x+\cdots+a_{n}x^{n-1},
onde cada coeficiente a_{i} é um número real.
  • Ao polinômio p corresponde o vetor coluna
\mathbf{a}=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)^{T}\in\mathbb{R}^{n}.
O enunciado pede que mostremos a seguinte propriedade: se p\leftrightarrow\mathbf{a}, então para qualquer escalar \alpha vale
\alpha p \leftrightarrow \alpha \mathbf{a}.
Dados relevantes listados:
  • p(x)=a_{1}+a_{2}x+\cdots+a_{n}x^{n-1} e p\leftrightarrow\mathbf{a}.
  • Queremos provar a igualdade entre a operação de multiplicar o polinômio por um escalar e a operação de multiplicar o vetor de coeficientes por esse escalar.

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (explicadas com calma):
  • \alpha é um escalar real qualquer.
  • A multiplicação de um polinômio p por \alpha é a função \alpha p definida ponto a ponto por
(\alpha p)(x)=\alpha\bigl(p(x)\bigr).
Isto significa: multiplica-se o valor do polinômio por \alpha para cada x.
  • A multiplicação de um vetor \mathbf{a}=(a_{1},\ldots,a_{n})^{T} por \alpha em \mathbb{R}^{n} é o vetor obtido multiplicando cada componente por \alpha:
\alpha\mathbf{a}=\bigl(\alpha a_{1},\ldots,\alpha a_{n}\bigr)^{T}.
Estas são as definições padrão de multiplicação por escalar em cada espaço; agora vamos aplicá-las ao polinômio p e ao vetor \mathbf{a}.

Passo 3

Calculemos explicitamente (\alpha p)(x) usando a expressão de p(x). Substituindo:
(\alpha p)(x)=\alpha\bigl(a_{1}+a_{2}x+\cdots+a_{n}x^{n-1}\bigr).
Distribuindo o escalar \alpha sobre a soma (propriedade distributiva dos reais) obtemos:
(\alpha p)(x)=\alpha a_{1}+\alpha a_{2}x+\cdots+\alpha a_{n}x^{n-1}.

Passo 4

Interpretando o resultado do passo anterior: a expressão de (\alpha p)(x) mostra que os coeficientes do polinômio \alpha p são exatamente \alpha a_{1},\alpha a_{2},\ldots,\alpha a_{n}. Portanto, pelo modo como a correspondência foi definida (cada polinômio corresponde ao vetor de seus coeficientes), o vetor de coeficientes de \alpha p é
\bigl(\alpha a_{1},\ldots,\alpha a_{n}\bigr)^{T},
que, pela definição de multiplicação escalar em \mathbb{R}^{n}, é exatamente \alpha\mathbf{a}.

Passo 5

Conclusão lógica: a correspondência que envia
p(x)=a_{1}+a_{2}x+\cdots+a_{n}x^{n-1} \quad\longleftrightarrow\quad \mathbf{a}=(a_{1},\ldots,a_{n})^{T}
preserva a multiplicação por escalar, porque multiplicar p por \alpha corresponde a multiplicar cada coeficiente por \alpha, isto é, a multiplicação escalar do vetor \mathbf{a}. Assim mostramos que
\alpha p \leftrightarrow \alpha \mathbf{a}
para todo escalar \alpha.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional mas didático):
  • Tome n=2, p(x)=2+3x (logo \mathbf{a}=(2,3)^{T}).
  • Seja \alpha=4. Então (\alpha p)(x)=4(2+3x)=8+12x.
  • O vetor de coeficientes de \alpha p é (8,12)^{T}, que é 4\,(2,3)^{T}=4\mathbf{a}.
    Isto confirma concretamente o que provamos simbolicamente.

Resposta

\alpha p \leftrightarrow \alpha \mathbf{a}

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