Seja Z o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual e defina-se a multiplicação por escalar, denotada o, por
\alpha \circ k=\llbracket \alpha \rrbracket \cdot k \quad \text { para todo } \quad k \in Z
em que \llbracket \alpha \rrbracket denota o maior inteiro menor ou igual a \alpha. Por exemplo,
2,25 \circ 4=\llbracket 2,25 \rrbracket \cdot 4=2 \cdot 4=8
Mostre que Z, com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são válidos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • O conjunto considerado é Z, o conjunto dos inteiros, com a adição definida da forma usual (isto é, soma habitual de inteiros).
  • A multiplicação por escalar é uma operação nova, denotada por \circ, definida por
\alpha \circ k=\llbracket \alpha \rrbracket \cdot k\quad\text{para todo }\;k\in Z,
em que \llbracket \alpha\rrbracket é o maior inteiro menor ou igual a \alpha (função piso).
  • Exemplo dado: 2,25\circ4=\llbracket 2,25\rrbracket\cdot4=2\cdot4=8.
  • A pergunta é: mostrar que Z, com essa adição e essa multiplicação por escalar, não é um espaço vetorial. Em particular, quais axiomas dos espaços vetoriais deixam de ser válidos?

Passo 2

Breve lembrança (didática) do que é preciso checar: para Z ser um espaço vetorial sobre o corpo dos escalares (vou assumir o corpo \mathbb{R} dos números reais, já que \alpha é real no enunciado) é necessário que
  • Z seja um grupo abeliano sob a adição (vários axiomas: fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos, comutatividade); e
  • a multiplicação por escalares satisfaça oito propriedades padrão. Das que envolvem \circ as mais relevantes para verificar são, em linguagem intuitiva e sem jargões:
    1. \alpha\circ (u+v)=\alpha\circ u+\alpha\circ v (distributividade do escalar em relação à soma de vetores).
    2. (\alpha+\beta)\circ v=\alpha\circ v+\beta\circ v (distributividade em relação à soma de escalares).
    3. \alpha\circ(\beta\circ v)=(\alpha\beta)\circ v (compatibilidade/associatividade entre escalares e multiplicação por escalar).
    4. 1\circ v=v (ação do escalar 1 é identidade).
    5. Outras propriedades como 0\circ v=0 e \alpha\circ 0=0 também são exigidas, mas normalmente são fáceis de verificar.
Vou verificar passo a passo quais dessas são verdadeiras e quais falham no nosso caso especial.

Passo 3

Verificação do grupo aditivo (passo necessário, mas simples):
  • Fechamento: soma de inteiros é inteiro, logo fechamos em Z.
  • Associatividade e comutatividade: são válidas para a soma usual.
  • Elemento neutro: 0\in Z.
  • Inversos aditivos: para k\in Z, -k\in Z.
    Conclusão: (Z,+) é um grupo abeliano, então a parte aditiva não impõe problemas.

Passo 4

Verificação de algumas propriedades triviais da multiplicação por escalar:
  • Fechamento por \circ: para \alpha\in\mathbb{R} e k\in Z,
\alpha\circ k=\llbracket\alpha\rrbracket\cdot k,
onde \llbracket\alpha\rrbracket\in Z e k\in Z, logo o produto inteiro é inteiro. Assim \alpha\circ k\in Z. Fechamento ok.
  • Identidade escalar 1: para todo k\in Z,
1\circ k=\llbracket 1\rrbracket\cdot k=1\cdot k=k.
Portanto a propriedade 1\circ v=v vale.
  • Escalar zero e vetor zero:
0\circ k=\llbracket 0\rrbracket\cdot k=0\cdot k=0,
e
\alpha\circ 0=\llbracket\alpha\rrbracket\cdot 0=0.
Essas propriedades também valem.

Passo 5

Verificação da distributividade do escalar sobre soma de vetores:
Sejam \alpha\in\mathbb{R} e k,m\in Z. Então
\alpha\circ (k+m)=\llbracket\alpha\rrbracket\cdot (k+m)=\llbracket\alpha\rrbracket\cdot k+\llbracket\alpha\rrbracket\cdot m=\alpha\circ k+\alpha\circ m.
Logo a propriedade \alpha\circ (u+v)=\alpha\circ u+\alpha\circ v é satisfeita para todos os \alpha,k,m.

Passo 6

Verificação da distributividade em relação à soma de escalares — aqui é onde provavelmente mora o problema. Precisaríamos ter, para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} e todo k\in Z,
(\alpha+\beta)\circ k=\alpha\circ k+\beta\circ k.
Escrevendo com a definição:
\llbracket\alpha+\beta\rrbracket\cdot k=\llbracket\alpha\rrbracket\cdot k+\llbracket\beta\rrbracket\cdot k.
Isto equivale a exigir, para todo \alpha,\beta,
\llbracket\alpha+\beta\rrbracket=\llbracket\alpha\rrbracket+\llbracket\beta\rrbracket.
Mas essa igualdade NÃO é verdadeira em geral para a função piso. Dou um contraexemplo concreto (faça este tipo de contraexemplo na prova — é rápido e decisivo):
Escolha \alpha=0,6, \beta=0,6 e k=1. Então
(\alpha+\beta)\circ k=\llbracket 1{,}2\rrbracket\cdot 1=1\cdot1=1,
enquanto
\alpha\circ k+\beta\circ k=\llbracket 0{,}6\rrbracket\cdot1+\llbracket 0{,}6\rrbracket\cdot1=0+0=0.
Portanto (\alpha+\beta)\circ k\neq\alpha\circ k+\beta\circ k. Conclusão: o axioma (\alpha+\beta)\circ v=\alpha\circ v+\beta\circ v falha.

Passo 7

Verificação da compatibilidade/associatividade entre escalares:
O axioma pede, para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} e k\in Z,
\alpha\circ(\beta\circ k)=(\alpha\beta)\circ k.
Vamos escrever com a definição:
  • Primeiro \beta\circ k=\llbracket\beta\rrbracket\cdot k (um inteiro). Então
\alpha\circ(\beta\circ k)=\llbracket\alpha\rrbracket\cdot(\llbracket\beta\rrbracket\cdot k)=(\llbracket\alpha\rrbracket\cdot\llbracket\beta\rrbracket)\cdot k.
  • Por outro lado,
(\alpha\beta)\circ k=\llbracket\alpha\beta\rrbracket\cdot k.
Para que a igualdade valha sempre, seria necessário
\llbracket\alpha\rrbracket\cdot\llbracket\beta\rrbracket=\llbracket\alpha\beta\rrbracket\quad\text{para todos }\alpha,\beta,
o que também é falso em geral. Contraexemplo simples:
Escolha \alpha=1{,}5, \beta=1{,}5 e k=1. Então
\alpha\circ(\beta\circ k)=\llbracket 1{,}5\rrbracket\cdot(\llbracket 1{,}5\rrbracket\cdot1)=1\cdot(1\cdot1)=1,
enquanto
(\alpha\beta)\circ k=\llbracket 2{,}25\rrbracket\cdot1=2\cdot1=2.
Logo \alpha\circ(\beta\circ k)\neq(\alpha\beta)\circ k. Conclusão: o axioma \alpha\circ(\beta\circ v)=(\alpha\beta)\circ v falha.

Passo 8

Resumo das verificações (para fixar o raciocínio — você pode repetir isso rapidamente na prova):
  • A parte aditiva (grupo abeliano) vale.
  • Fechamento da multiplicação por escalar, identidade 1\circ v=v, e propriedades envolvendo o zero valem.
  • A distributividade do escalar sobre soma de vetores \alpha\circ(u+v)=\alpha\circ u+\alpha\circ v vale.
  • Porém duas propriedades essenciais envolvendo soma/associação de escalares falham:
    • (\alpha+\beta)\circ v=\alpha\circ v+\beta\circ v (falha: exemplo \alpha=\beta=0{,}6,\;k=1);
    • \alpha\circ(\beta\circ v)=(\alpha\beta)\circ v (falha: exemplo \alpha=\beta=1{,}5,\;k=1).
Essas falhas bastam para concluir que Z com a operação \circ dada não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

(\alpha+\beta)\circ v=\alpha\circ v+\beta\circ v não vale para todos os \alpha,\beta e v.
\alpha\circ(\beta\circ v)=(\alpha\beta)\circ v não vale para todos os \alpha,\beta e v.

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