Seja
o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual e defina-se a multiplicação por escalar, denotada o, por
em que
denota o maior inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
Mostre que
, com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são válidos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- O conjunto considerado é
, o conjunto dos inteiros, com a adição definida da forma usual (isto é, soma habitual de inteiros). - A multiplicação por escalar é uma operação nova, denotada por
, definida por
em que
é o maior inteiro menor ou igual a
(função piso).
- Exemplo dado:
. - A pergunta é: mostrar que
, com essa adição e essa multiplicação por escalar, não é um espaço vetorial. Em particular, quais axiomas dos espaços vetoriais deixam de ser válidos?
Passo 2
Breve lembrança (didática) do que é preciso checar: para
ser um espaço vetorial sobre o corpo dos escalares (vou assumir o corpo
dos números reais, já que
é real no enunciado) é necessário que
-
seja um grupo abeliano sob a adição (vários axiomas: fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos, comutatividade); e - a multiplicação por escalares satisfaça oito propriedades padrão. Das que envolvem
as mais relevantes para verificar são, em linguagem intuitiva e sem jargões: -
(distributividade do escalar em relação à soma de vetores). -
(distributividade em relação à soma de escalares). -
(compatibilidade/associatividade entre escalares e multiplicação por escalar). -
(ação do escalar é identidade). - Outras propriedades como
e também são exigidas, mas normalmente são fáceis de verificar.
-
Vou verificar passo a passo quais dessas são verdadeiras e quais falham no nosso caso especial.
Passo 3
Verificação do grupo aditivo (passo necessário, mas simples):
- Fechamento: soma de inteiros é inteiro, logo fechamos em
. - Associatividade e comutatividade: são válidas para a soma usual.
- Elemento neutro:
. - Inversos aditivos: para
, .
Conclusão:é um grupo abeliano, então a parte aditiva não impõe problemas.
Passo 4
Verificação de algumas propriedades triviais da multiplicação por escalar:
- Fechamento por
: para e ,
onde
e
, logo o produto inteiro é inteiro. Assim
. Fechamento ok.
- Identidade escalar
: para todo ,
Portanto a propriedade
vale.
- Escalar zero e vetor zero:
e
Essas propriedades também valem.
Passo 5
Verificação da distributividade do escalar sobre soma de vetores:
Sejam e
. Então
Sejam
Logo a propriedade
é satisfeita para todos os
.
Passo 6
Verificação da distributividade em relação à soma de escalares — aqui é onde provavelmente mora o problema. Precisaríamos ter, para todo
e todo
,
Escrevendo com a definição:
Isto equivale a exigir, para todo
,
Mas essa igualdade NÃO é verdadeira em geral para a função piso. Dou um contraexemplo concreto (faça este tipo de contraexemplo na prova — é rápido e decisivo):
Escolha
,
e
. Então
enquanto
Portanto
. Conclusão: o axioma
falha.
Passo 7
Verificação da compatibilidade/associatividade entre escalares:
O axioma pede, para todo e
,
O axioma pede, para todo
Vamos escrever com a definição:
- Primeiro
(um inteiro). Então
- Por outro lado,
Para que a igualdade valha sempre, seria necessário
o que também é falso em geral. Contraexemplo simples:
Escolha
,
e
. Então
enquanto
Logo
. Conclusão: o axioma
falha.
Passo 8
Resumo das verificações (para fixar o raciocínio — você pode repetir isso rapidamente na prova):
- A parte aditiva (grupo abeliano) vale.
- Fechamento da multiplicação por escalar, identidade
, e propriedades envolvendo o zero valem. - A distributividade do escalar sobre soma de vetores
vale. - Porém duas propriedades essenciais envolvendo soma/associação de escalares falham:
-
(falha: exemplo ); -
(falha: exemplo ).
-
Essas falhas bastam para concluir que
com a operação
dada não é um espaço vetorial sobre
.