Podemos dizer que a seguinte equação pode representar uma onda progressiva? Se sim, qual o seu sentido e sua velocidade? Considere o eixo x crescente para a direita.
y(x, t)=e^{-\frac{x^{2}}{b^{2}}} e^{\frac{2 x t}{b}} e^{-t^{2}} e^{a}
Escolha uma opção:
\bigcirc a. Sim. Direita e v=a b.
\bigcirc b. Não.
\bigcirc c. Sim. Direita e v=b.
\bigcirc d. Sim. Esquerda e v=b.
\bigcirc e. Sim. Esquerda e v=a b.

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x,t)=e^{-\frac{x^{2}}{b^{2}}}e^{\frac{2xt}{b}}e^{-t^{2}}e^{a}
e pergunta:
  • Podemos dizer que essa equação pode representar uma onda progressiva?
  • Se sim, qual o sentido (direita ou esquerda) e qual a sua velocidade?
    Foi informado que o eixo \,x, cresce para a direita. Não há mais dados numéricos; temos a e b como constantes (presumivelmente reais).

Passo 2

Primeiro, vamos juntar os fatores exponenciais num único expoente para enxergar melhor a estrutura. Usando propriedades de exponenciais,
y(x,t)=e^{a}\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{2xt}{b}-t^{2}\right).

Passo 3

Agora vamos manipular o expoente que mistura x e t. Repare no termo quadrático em x e no termo misto xt. Vou completar o quadrado em x. Começo por reorganizar dentro do parêntese:
-\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{2xt}{b}-t^{2} = -\frac{1}{b^{2}}\big(x^{2}-2btx\big)-t^{2}.
Observe que
x^{2}-2btx=(x-bt)^{2}-b^{2}t^{2},
porque ao expandir (x-bt)^{2} x^{2}-2btx+b^{2}t^{2}. Subtraindo b^{2}t^{2} recuperamos x^{2}-2btx.

Passo 4

Substituindo essa identidade no expoente temos
-\frac{1}{b^{2}}\big((x-bt)^{2}-b^{2}t^{2}\big)-t^{2} = -\frac{(x-bt)^{2}}{b^{2}}+t^{2}-t^{2},
e os termos t^{2} se cancelam. Logo o expoente simplifica muito bem para
-\frac{(x-bt)^{2}}{b^{2}}.

Passo 5

Portanto a função fica na forma muito clara
y(x,t)=e^{a}\exp\!\left(-\frac{(x-bt)^{2}}{b^{2}}\right).
Esta é uma gaussiana centrada em x=bt multiplicada por uma constante e^{a}. Ou seja, é uma forma do tipo y(x,t)=\text{const}\cdot g(x-bt), onde g(\xi)=\exp\!\big(-\xi^{2}/b^{2}\big).

Passo 6

Agora a parte didática: por que isso indica uma onda progressiva e como ler sentido e velocidade?
  • Uma onda progressiva (ou pulso que se desloca sem mudar de forma) tem a forma g(x-vt) ou g(x+vt). Se a dependência é g(x-vt) o pulso se desloca para a direita com velocidade v. Se é g(x+vt) desloca para a esquerda com velocidade v.
  • No nosso caso temos g(x-bt). Isso corresponde a v=b e sinal “menos”, logo deslocamento para a direita.
  • Outra maneira intuitiva: o máximo da gaussiana ocorre quando o argumento (x-bt)=0, isto é no ponto x=bt. Assim o centro do pulso é x_{\text{centro}}(t)=bt. Derivando em relação a t temos a velocidade do centro v=\dfrac{dx_{\text{centro}}}{dt}=b. Como b aparece aqui sem mudança de sinal e o centro cresce com t, o movimento é para a direita (e a velocidade é b).

Passo 7

Conclusão final: a função representa um pulso progressivo (onda localizada) que se desloca para a direita com velocidade \,v=b. O fator e^{a} apenas escala a amplitude e não afeta o deslocamento.

Resposta

c. Sim. Direita e v=b.

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