Podemos dizer que a seguinte equação pode representar uma onda progressiva? Se sim, qual o seu sentido e sua velocidade? Considere o eixo
crescente para a direita.
Escolha uma opção:
a. Sim. Direita e
.
b. Não.
c. Sim. Direita e
.
d. Sim. Esquerda e
.
e. Sim. Esquerda e
.
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta:
- Podemos dizer que essa equação pode representar uma onda progressiva?
- Se sim, qual o sentido (direita ou esquerda) e qual a sua velocidade?
Foi informado que o eixo, cresce para a direita. Não há mais dados numéricos; temos e como constantes (presumivelmente reais).
Passo 2
Primeiro, vamos juntar os fatores exponenciais num único expoente para enxergar melhor a estrutura. Usando propriedades de exponenciais,
Passo 3
Agora vamos manipular o expoente que mistura
e
. Repare no termo quadrático em
e no termo misto
. Vou completar o quadrado em
. Começo por reorganizar dentro do parêntese:
Observe que
porque ao expandir
dá
. Subtraindo
recuperamos
.
Passo 4
Substituindo essa identidade no expoente temos
e os termos
se cancelam. Logo o expoente simplifica muito bem para
Passo 5
Portanto a função fica na forma muito clara
Esta é uma gaussiana centrada em
multiplicada por uma constante
. Ou seja, é uma forma do tipo
, onde
.
Passo 6
Agora a parte didática: por que isso indica uma onda progressiva e como ler sentido e velocidade?
- Uma onda progressiva (ou pulso que se desloca sem mudar de forma) tem a forma
ou . Se a dependência é o pulso se desloca para a direita com velocidade . Se é desloca para a esquerda com velocidade . - No nosso caso temos
. Isso corresponde a e sinal “menos”, logo deslocamento para a direita. - Outra maneira intuitiva: o máximo da gaussiana ocorre quando o argumento
, isto é no ponto . Assim o centro do pulso é . Derivando em relação a temos a velocidade do centro . Como aparece aqui sem mudança de sinal e o centro cresce com , o movimento é para a direita (e a velocidade é ).
Passo 7
Conclusão final: a função representa um pulso progressivo (onda localizada) que se desloca para a direita com velocidade
. O fator
apenas escala a amplitude e não afeta o deslocamento.
Resposta
c. Sim. Direita e
.