A entropia de um dado sistema composto de N partículas é
S(U, V, N)=3 \alpha V^{2}\left[\tan \left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],
onde \alpha e \beta são constantes. Calcule
(d) - o calor específico a volume cons- tante.

Passo 1

O enunciado dá a entropia do sistema como
S(U,V,N)=3\alpha V^{2}\left[\tan\!\left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],
onde \alpha e \beta são constantes. A pergunta (d) pede: calcular o calor específico a volume constante, isto é C_{V}.
Informações relevantes fornecidas: a forma de S em função de U, V e N. Não há valores numéricos; espera-se uma expressão simbólica para C_{V}.

Passo 2

Conceito útil (pequena aula): em termodinâmica, a temperatura é definida a partir da entropia por
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}.
Isto significa que, mantendo V e N fixos, derivamos S em relação a U para achar 1/T. Vou calcular \partial S/\partial U passo a passo. Escrevo u=\dfrac{U}{N} só para facilitar a diferenciação; assim \tan(U/N)=\tan(u). A derivada de \tan(u) em relação a U usa a regra da cadeia:
\frac{d}{dU}\tan\!\left(\frac{U}{N}\right)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\frac{d}{dU}\left(\frac{U}{N}\right)=\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Portanto, derivando S em relação a U (com V,N fixos):
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=3\alpha V^{2}\cdot\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).

Passo 3

Usando a definição de temperatura, obtemos
\frac{1}{T}=3\alpha V^{2}\cdot\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Agora isolamos T. Lembrando que \operatorname{sec}^{2}x=1/\cos^{2}x, temos
T=\frac{1}{\displaystyle 3\alpha V^{2}\cdot\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)} =\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).

Passo 4

Definição do que queremos (outra pequena aula): o calor específico a volume constante é
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V,N}.
Uma maneira prática de obter C_{V} é calcular dT/dU a partir de T(U) e depois inverter: C_{V}=(dT/dU)^{-1}. Vou fazer isso, porque já tenho T explícito em função de U.

Passo 5

Calculo de dT/dU. Reescrevo T(U) como
T(U)=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Derivo em relação a U. Uso a regra da cadeia e a derivada de \cos^{2}x que é 2\cos x(-\sin x):
\frac{dT}{dU}=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cdot 2\cos\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{U}{N}\right)\right)\cdot\frac{d}{dU}\left(\frac{U}{N}\right).
Como \dfrac{d}{dU}\left(\dfrac{U}{N}\right)=\dfrac{1}{N}, simplifico:
\frac{dT}{dU}=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cdot 2\cos\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{U}{N}\right)\right)\cdot\frac{1}{N} =\frac{1}{3\alpha V^{2}}\cdot\left(-2\cos\!\left(\frac{U}{N}\right)\sin\!\left(\frac{U}{N}\right)\right).
Uso a identidade trigonométrica 2\sin x\cos x=\sin(2x) para obter
\frac{dT}{dU}=-\frac{1}{3\alpha V^{2}}\sin\!\left(\frac{2U}{N}\right).

Passo 6

Agora inviro dT/dU para achar C_{V}:
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V,N}=\frac{1}{\dfrac{dT}{dU}} =\frac{1}{-\dfrac{1}{3\alpha V^{2}}\sin\!\left(\dfrac{2U}{N}\right)} =-\frac{3\alpha V^{2}}{\sin\!\left(\dfrac{2U}{N}\right)}.
Posso também escrever usando 2\sin u\cos u se preferir:
C_{V}=-\frac{3\alpha V^{2}}{2\sin\!\left(\dfrac{U}{N}\right)\cos\!\left(\dfrac{U}{N}\right)}.
Comentário rápido e útil para a prova: o sinal de C_{V} depende do sinal de \sin(2U/N). Em termodinâmica estável espera-se C_{V}>0, o que impõe restrições sobre os valores admissíveis de U (ou sobre o sinal de \alpha); mas aqui a resposta simbólica acima é suficiente.

Resposta

-\dfrac{3\alpha V^{2}}{\sin\!\left(\dfrac{2U}{N}\right)}

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