A entropia de um dado sistema composto de
partículas é
onde
e
são constantes. Calcule
(d) - o calor específico a volume cons- tante.
(d) - o calor específico a volume cons- tante.
Passo 1
O enunciado dá a entropia do sistema como
onde
e
são constantes. A pergunta (d) pede: calcular o calor específico a volume constante, isto é
.
Informações relevantes fornecidas: a forma de em função de
,
e
. Não há valores numéricos; espera-se uma expressão simbólica para
.
Informações relevantes fornecidas: a forma de
Passo 2
Conceito útil (pequena aula): em termodinâmica, a temperatura é definida a partir da entropia por
Isto significa que, mantendo
e
fixos, derivamos
em relação a
para achar
. Vou calcular
passo a passo. Escrevo
só para facilitar a diferenciação; assim
. A derivada de
em relação a
usa a regra da cadeia:
Portanto, derivando
em relação a
(com
fixos):
Passo 3
Usando a definição de temperatura, obtemos
Agora isolamos
. Lembrando que
, temos
Passo 4
Definição do que queremos (outra pequena aula): o calor específico a volume constante é
Uma maneira prática de obter
é calcular
a partir de
e depois inverter:
. Vou fazer isso, porque já tenho
explícito em função de
.
Passo 5
Calculo de
. Reescrevo
como
Derivo em relação a
. Uso a regra da cadeia e a derivada de
que é
:
Como
, simplifico:
Uso a identidade trigonométrica
para obter
Passo 6
Agora inviro
para achar
:
Posso também escrever usando
se preferir:
Comentário rápido e útil para a prova: o sinal de
depende do sinal de
. Em termodinâmica estável espera-se
, o que impõe restrições sobre os valores admissíveis de
(ou sobre o sinal de
); mas aqui a resposta simbólica acima é suficiente.