Poderia o rendimento da máquina de Carnot ser maior pelo aumento de T1, com T2 fixo, ou com o decréscimo de T2, com T1 fixo? Explique.

Passo 1

Beleza, a questão é assim: estamos estudando a eficiência (rendimento) de uma máquina de Carnot, cuja fórmula é
eta ;=; 1 - T2T1,
onde
  • é a temperatura do reservatório quente,
  • é a temperatura do reservatório frio.
O que a questão pede: comparar dois jeitos de aumentar – a) subir mantendo fixo; b) descer mantendo fixo – e dizer qual deles dá um ganho de eficiência maior.
Para resolver, vamos usar um pouco de cálculo básico (derivadas parciais) e raciocínio sobre variações pequenas.

Passo 2

A primeira coisa é entendermos “como” partial etapartial T1 = partial partial T1 l(1 - T2T1r) = T2T1^2 muda se mexermos em De ou em .
  • Se aumentamos em um pouquinho , com fixo, a variação é dada pela derivada parcial Logo, para um pequeno ,

Passo 3

Agora, se diminuímos partial etapartial T2 = partial partial T2 l(1 - T2T1r) = -1T1 em um Δ De (pequeno), com fixo, temos
Como estamos diminuindo , pense em , mas o ganho de eficiência em valor absoluto fica

Passo 4

Para comparar, suponha que mexemos nas temperaturas na mesma quantidade absoluta, digamos De;De; T2T1^2;de T2/T1^2 ;Long<=ftrightarrow; T1 > T2, . Então:
  • Aumento de
    .
  • Diminuição de
    .
Agora, qual é maior?
e isso é sempre verdade numa máquina de Carnot (o quente é mais quente que o frio).

Resposta

Diminuir a temperatura fria (com fixo) aumenta mais a eficiência do que elevar a temperatura quente (com fixo).

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