(1 point) Determine a derivada direcional da funçāo f(x, y)=x^{4} y^{3}-x^{3} y^{4} no ponto (2,-1) na direçāo do vetor v=3 \vec{i}+4 \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}, o ponto (2,-1) e o vetor de direção v=3\vec{i}+4\vec{j}.
O que se pede: calcular a derivada direcional de f no ponto (2,-1) na direção do vetor v.

Passo 2

Definição e fórmula útil (explicação didática): a derivada direcional de f no ponto a=(x_0,y_0) na direção de um vetor \mathbf{v} é a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de a na direção de \mathbf{v}. Para funções diferenciáveis (polinômios são diferenciáveis), usa-se a fórmula
D_{\mathbf{u}}f(a)=\nabla f(a)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f(a) é o gradiente de f em a (vetor formado pelas derivadas parciais) e \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.
Explicando cada símbolo:
  • \nabla f(a)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(a),\dfrac{\partial f}{\partial y}(a)\right).
  • \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}, com \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
    Então o plano é: calcular as parciais, avaliar no ponto, normalizar v e fazer o produto escalar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (aplicando a regra do poder e tratando a outra variável como constante):
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{4}\big) =4x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{4}.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{4}\big) =3x^{4}y^{2}-4x^{3}y^{3}.

Passo 4

Avaliar as parciais no ponto (2,-1). Primeiro calcular potências úteis:
2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16,
(-1)^{2}=1,\quad (-1)^{3}=-1,\quad (-1)^{4}=1.
Agora substituir:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1)=4\cdot 8\cdot(-1)-3\cdot 4\cdot 1=-32-12=-44.
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=3\cdot 16\cdot 1-4\cdot 8\cdot(-1)=48+32=80.
Portanto
\nabla f(2,-1)=(-44,\;80).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção v=(3,4). A norma é
\|v\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
O vetor unitário é
\mathbf{u}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(2,-1)=\nabla f(2,-1)\cdot \mathbf{u} =(-44)\cdot\frac{3}{5}+80\cdot\frac{4}{5} =\frac{-132+320}{5}=\frac{188}{5}.

Resposta

\dfrac{188}{5}

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