(1 point) Determine a derivada direcional da funçāo
no ponto
na direçāo do vetor
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
.
O que se pede: calcular a derivada direcional de no ponto
na direção do vetor
.
O que se pede: calcular a derivada direcional de
Passo 2
Definição e fórmula útil (explicação didática): a derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor
é a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção de
. Para funções diferenciáveis (polinômios são diferenciáveis), usa-se a fórmula
onde
é o gradiente de
em
(vetor formado pelas derivadas parciais) e
é o vetor unitário na direção de
.
Explicando cada símbolo:
Explicando cada símbolo:
-
. -
, com .
Então o plano é: calcular as parciais, avaliar no ponto, normalizare fazer o produto escalar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (aplicando a regra do poder e tratando a outra variável como constante):
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Avaliar as parciais no ponto
. Primeiro calcular potências úteis:
Agora substituir:
Portanto
Passo 5
Normalizar o vetor de direção
. A norma é
O vetor unitário é
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar: