Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçño.
f(x, y)=\left(3 x^{3}+4 y^{4}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{10}
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x};
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}.
As informações relevantes disponíveis são exatamente a expressão da função f(x,y) acima e que queremos as derivadas parciais em relação a x e a y.

Passo 2

Ideia geral (cadeia de raciocínio que vamos usar): a função é uma composição de uma função externa potência u\mapsto u^{10} com uma função interna u(x,y)=3x^{3}+4y^{4}. Para funções compostas em duas variáveis vale a regra da cadeia para derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(g(u(x,y))\bigr)=g'\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(g(u(x,y))\bigr)=g'\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui vamos tomar g(u)=u^{10} e u(x,y)=3x^{3}+4y^{4}. Explico as partes: g'(u) é a derivada da função potência em relação a u, e \partial u/\partial x,\\ \partial u/\partial y são as derivadas da função interna em relação a x e y.

Passo 3

Calcular g'(u). Usando a regra da potência para uma variável (se g(u)=u^{n} então g'(u)=n u^{n-1}), temos aqui
g'(u)=10 u^{9}.
Substituindo u=u(x,y)=3x^{3}+4y^{4} obtemos a parte externa avaliada na função interna:
g'\bigl(u(x,y)\bigr)=10\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{9}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. A função interna é u(x,y)=3x^{3}+4y^{4}. Ao derivar em relação a x tratamos y como constante, então a derivada do termo 4y^{4} é zero e a do termo 3x^{3} é: derivada de x^{3} é 3x^{2}, multiplicando pelo coeficiente 3
\frac{\partial u}{\partial x}=3\cdot 3x^{2}=9x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}. Multiplicamos g'(u(x,y)) por \partial u/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} =10\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{9}\cdot 9x^{2}.
Simplificando o coeficiente 10\cdot 9=90, fica
\frac{\partial f}{\partial x}=90x^{2}\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{9}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y}. Agora derivamos u(x,y)=3x^{3}+4y^{4} em relação a y, tratando x como constante. O termo 3x^{3} dá zero e a derivada de 4y^{4} é: derivada de y^{4} é 4y^{3}, multiplicando por 4
\frac{\partial u}{\partial y}=4\cdot 4y^{3}=16y^{3}.

Passo 7

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial y}. Multiplicamos g'(u(x,y)) por \partial u/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} =10\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{9}\cdot 16y^{3}.
Simplificando o coeficiente 10\cdot 16=160, fica
\frac{\partial f}{\partial y}=160y^{3}\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=90x^{2}\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{9}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=160y^{3}\bigl(3x^{3}+4y^{4}\bigr)^{9}

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