Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçño.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
-
; -
.
As informações relevantes disponíveis são exatamente a expressão da função
acima e que queremos as derivadas parciais em relação a
e a
.
Passo 2
Ideia geral (cadeia de raciocínio que vamos usar): a função é uma composição de uma função externa potência
com uma função interna
. Para funções compostas em duas variáveis vale a regra da cadeia para derivadas parciais:
Aqui vamos tomar
e
. Explico as partes:
é a derivada da função potência em relação a
, e
são as derivadas da função interna em relação a
e
.
Passo 3
Calcular
. Usando a regra da potência para uma variável (se
então
), temos aqui
Substituindo
obtemos a parte externa avaliada na função interna:
Passo 4
Calcular
. A função interna é
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante, então a derivada do termo
é zero e a do termo
é: derivada de
é
, multiplicando pelo coeficiente
dá
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Multiplicamos
por
:
Simplificando o coeficiente
, fica
Passo 6
Calcular
. Agora derivamos
em relação a
, tratando
como constante. O termo
dá zero e a derivada de
é: derivada de
é
, multiplicando por
dá
Passo 7
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Multiplicamos
por
:
Simplificando o coeficiente
, fica