(1 point) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da funçāo f(x, y)= x^{4} y^{3}-x^{3} y^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4} e pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está explicitada como f(x,y)=x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4}.
  • É uma função polinomial em x e y (logo todas as derivadas parciais necessárias existem e são contínuas).
  • O que se quer são as derivadas \,f_{xx},\,f_{xy},\,f_{yx},\,f_{yy}.

Passo 2

Rápida revisão do que é derivada parcial e as regras que vou usar (para você entender na prova).
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita f_x ou \dfrac{\partial f}{\partial x}, é feita derivando-se f em relação a x tratando y como constante. O mesmo para f_y tratando x como constante.
  • Regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}. Em parcial, se temos x^{n}y^{m} e derivamos em relação a x, o y^{m} é constante e sai multiplicando: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{n}y^{m})=n x^{n-1}y^{m}.
  • As derivadas de ordem dois são obtidas aplicando novamente as derivadas parciais: f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x), f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x), etc.
  • Para funções polinomiais, as derivadas são simples aplicações repetidas da regra do poder e do fato de que constantes (em relação à variável diferenciada) saem do operador derivada.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem passo a passo (essas são necessárias para obter as de segunda ordem).
Derivando f(x,y)=x^{4}y^{3}-x^{3}y^{4} em relação a x (tratando y como constante):
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{4}\big)
Aplicando a regra do poder em cada termo:
f_x = 4x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{4}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{4}\big)
f_y = 3x^{4}y^{2}-4x^{3}y^{3}.

Passo 4

Agora calculo as segundas derivadas começando por f_{xx}.
Derivo f_x=4x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{4} em relação a x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{3}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y^{4}\big).
Aplicando a regra do poder:
f_{xx}=12x^{2}y^{3}-6x y^{4}.

Passo 5

Calcular f_{xy} (primeiro x depois y).
Derivo f_x=4x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{4} em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y^{4}\big).
Aplicando regra do poder (agora derivando em y, x é constante):
f_{xy}=12x^{3}y^{2}-12x^{2}y^{3}.

Passo 6

Calcular f_{yx} (primeiro y depois x) para verificar a consistência.
Derivo f_y=3x^{4}y^{2}-4x^{3}y^{3} em relação a x:
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{4}y^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{3}y^{3}\big).
f_{yx}=12x^{3}y^{2}-12x^{2}y^{3}.
Note que f_{yx}=f_{xy}, como esperado para uma função polinomial (as segundas derivadas mistas são iguais pela igualdade das derivadas parciais contínuas — conhecido como teorema de Clairaut).

Passo 7

Calcular f_{yy}.
Derivo f_y=3x^{4}y^{2}-4x^{3}y^{3} em relação a y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{4}y^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}y^{3}\big).
f_{yy}=6x^{4}y-12x^{3}y^{2}.

Resposta

f_{xx}=12x^{2}y^{3}-6x y^{4}
f_{xy}=12x^{3}y^{2}-12x^{2}y^{3}
f_{yx}=12x^{3}y^{2}-12x^{2}y^{3}
f_{yy}=6x^{4}y-12x^{3}y^{2}

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