(1 point) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da funçāo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está explicitada como
. - É uma função polinomial em
e (logo todas as derivadas parciais necessárias existem e são contínuas). - O que se quer são as derivadas
.
Passo 2
Rápida revisão do que é derivada parcial e as regras que vou usar (para você entender na prova).
- A derivada parcial de
em relação a , escrita ou , é feita derivando-se em relação a tratando como constante. O mesmo para tratando como constante. - Regra do poder (power rule): a derivada de
em relação a é . Em parcial, se temos e derivamos em relação a , o é constante e sai multiplicando: . - As derivadas de ordem dois são obtidas aplicando novamente as derivadas parciais:
, , etc. - Para funções polinomiais, as derivadas são simples aplicações repetidas da regra do poder e do fato de que constantes (em relação à variável diferenciada) saem do operador derivada.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem passo a passo (essas são necessárias para obter as de segunda ordem).
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Aplicando a regra do poder em cada termo:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Agora calculo as segundas derivadas começando por
.
Derivo
em relação a
:
Aplicando a regra do poder:
Passo 5
Calcular
(primeiro
depois
).
Derivo
em relação a
:
Aplicando regra do poder (agora derivando em
,
é constante):
Passo 6
Calcular
(primeiro
depois
) para verificar a consistência.
Derivo
em relação a
:
Note que
, como esperado para uma função polinomial (as segundas derivadas mistas são iguais pela igualdade das derivadas parciais contínuas — conhecido como teorema de Clairaut).
Passo 7
Calcular
.
Derivo
em relação a
: