(2 points) Determine o limite das seguintes funções, caso existan
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
. Peguei essa função do enunciado/imagem.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- A função:
. - O ponto de interesse:
.
O que se pede: determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Vamos escolher um método. Uma boa estratégia para limites em duas variáveis é testar se o valor limite depende da direção pela qual nos aproximamos de
. Se depender da direção, o limite não existe. Para tornar essa dependência explícita é conveniente usar coordenadas polares, onde
e
, com
e
o ângulo de direção. Em coordenadas polares, aproximar
corresponde a
mantendo
fixo.
Passo 3
Faço a substituição polar. Primeiro calculo numerador e denominador:
Portanto
e
Assim a função fica
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos em seguida
Passo 4
Agora observo o que acontece quando
. A expressão encontrada,
, não depende de
; depende apenas de
. Isso significa que o valor da função ao nos aproximarmos de
pode variar conforme a direção
. Para mostrar que o limite não existe, basta apresentar duas direções que dão resultados diferentes. Exemplos simples:
- Para
(eixo ), . - Para
(reta ), . - Para
(reta ), .
Como há direções que dão valores distintos (por exemplo
e
), não existe um único valor limite ao aproximar
por diferentes caminhos. Alternativamente, usando a linha
obtém-se
que depende de
; para
dá
, para
dá
, etc. Isso confirma a dependência do caminho e, portanto, a ausência de limite único.
Passo 5
Conclusão baseada nos passos anteriores: o valor da função ao se aproximar de
depende da direção
, logo o limite não existe.
Resposta
Não existe.