(2 points) Determine o limite das seguintes funções, caso existan
\lim _{(0, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 x y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) tende a (0,0) da função \dfrac{4 x y}{x^{2}+y^{2}}. Peguei essa função do enunciado/imagem.
Dados fornecidos:
  • A função: \dfrac{4 x y}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse: (x,y)\to(0,0).
    O que se pede: determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Vamos escolher um método. Uma boa estratégia para limites em duas variáveis é testar se o valor limite depende da direção pela qual nos aproximamos de (0,0). Se depender da direção, o limite não existe. Para tornar essa dependência explícita é conveniente usar coordenadas polares, onde x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge 0 e \theta o ângulo de direção. Em coordenadas polares, aproximar (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0 mantendo \theta fixo.

Passo 3

Faço a substituição polar. Primeiro calculo numerador e denominador:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Portanto
4xy = 4(r\cos\theta)(r\sin\theta)=4r^{2}\cos\theta\sin\theta,
e
x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}.
Assim a função fica
\frac{4xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{4r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}=4\cos\theta\sin\theta.
Usando a identidade trigonométrica 2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta), obtemos em seguida
4\cos\theta\sin\theta = 2\sin(2\theta).

Passo 4

Agora observo o que acontece quando r\to 0. A expressão encontrada, 2\sin(2\theta), não depende de r; depende apenas de \theta. Isso significa que o valor da função ao nos aproximarmos de (0,0) pode variar conforme a direção \theta. Para mostrar que o limite não existe, basta apresentar duas direções que dão resultados diferentes. Exemplos simples:
  • Para \theta=0 (eixo x), \;2\sin(2\cdot 0)=2\sin 0=0.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{4} (reta y=x), \;2\sin(2\cdot\tfrac{\pi}{4})=2\sin(\tfrac{\pi}{2})=2.
  • Para \theta=-\tfrac{\pi}{4} (reta y=-x), \;2\sin(2\cdot(-\tfrac{\pi}{4}))=2\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-2.
Como há direções que dão valores distintos (por exemplo 0 e 2), não existe um único valor limite ao aproximar (0,0) por diferentes caminhos. Alternativamente, usando a linha y=kx obtém-se
\frac{4x(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{4k x^{2}}{x^{2}(1+k^{2})}=\frac{4k}{1+k^{2}},
que depende de k; para k=0 0, para k=1 2, etc. Isso confirma a dependência do caminho e, portanto, a ausência de limite único.

Passo 5

Conclusão baseada nos passos anteriores: o valor da função ao se aproximar de (0,0) depende da direção \theta, logo o limite não existe.

Resposta

Não existe.

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