(a) Determine os coeficientes b_{n}.
(b) Determine o valor da série de Fourier em x=0.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função periódica, definida no intervalo (-\pi,\pi)\) por partes:
\[f(x)= \begin{cases}2, & -\pi<x<0, \\[4pt] 0, & 0<x<\pi, \end{cases}
e pede duas coisas:
(a) determinar os coeficientes b_{n}\] da série de Fourier de \(f;
(b) determinar o valor (o somatório) da série de Fourier em x=0.
Informações relevantes que temos:
A função é 2 à esquerda de 0 (no intervalo -\pi<x<0) e 0 à direita de 0 (no intervalo 0<x<\pi).
A série de Fourier considerada é a expansão em série trigonométrica de período 2\pi com as fórmulas padrão dos coeficientes sobre (-\pi,\pi).
Para pontos de descontinuidade, a série de Fourier converge para a média dos limites laterais (essa será usada na parte (b)).]
Passo 2
Lembrando a fórmula da série de Fourier (breve aula):
A série de Fourier de uma função 2\pi-periódica f pode ser escrita como
Pequeno exemplo numérico para fixar (aula prática):
Para n=1 (ímpar): b_{1}=-\dfrac{4}{1\pi}=-\dfrac{4}{\pi}.
Para n=2 (par): b_{2}=0.
Isto confirma o padrão alternado: somente os senos de índice ímpar aparecem, com coeficiente negativo.
Passo 7
Agora a parte (b): valor da série de Fourier em x=0. Aula rápida sobre o que acontece em pontos de descontinuidade:
O Teorema de Dirichlet (resultado padrão sobre séries de Fourier) diz que, se f tem apenas um número finito de descontinuidades e é integrável, então a série de Fourier em um ponto x_{0} converge para a média dos limites laterais:
\text{valor da série em }x_{0}=\frac{f(x_{0}^-)+f(x_{0}^+)}{2},é
onde f(x_{0}^-)=\lim_{x\to x_{0}^-}f(x) e f(x_{0}^+)=\lim_{x\to x_{0}^+}f(x).