(1,0 points) Considere a função periódica:
f(x)= \begin{cases}2, & -\pi<x<0 \\\\ 0, & 0<x<\pi\end{cases}
(a) Determine os coeficientes b_{n}.
(b) Determine o valor da série de Fourier em x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função periódica, definida no intervalo (-\pi,\pi)\) por partes: \[f(x)= \begin{cases}2, & -\pi<x<0, \\[4pt] 0, & 0<x<\pi, \end{cases}
e pede duas coisas:
(a) determinar os coeficientes b_{n}\] da série de Fourier de \(f;
(b) determinar o valor (o somatório) da série de Fourier em x=0.
Informações relevantes que temos:
  • A função é 2 à esquerda de 0 (no intervalo -\pi<x<0) e 0 à direita de 0 (no intervalo 0<x<\pi).
  • A série de Fourier considerada é a expansão em série trigonométrica de período 2\pi com as fórmulas padrão dos coeficientes sobre (-\pi,\pi).
  • Para pontos de descontinuidade, a série de Fourier converge para a média dos limites laterais (essa será usada na parte (b)).]

Passo 2

Lembrando a fórmula da série de Fourier (breve aula):
A série de Fourier de uma função 2\pi-periódica f pode ser escrita como
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
As fórmulas dos coeficientes são (explicando cada peça):
  • a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, onde a_{n} mede a contribuição dos cossenos;
  • b_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx, onde b_{n} mede a contribuição dos senos;
  • a_{0}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Aqui nós precisamos apenas de b_{n}. Interpretação: b_n é a média ponderada de f(x) pelo \sin(nx) sobre um período, normalizada por 1/\pi.

Passo 3

Aplicar a fórmula de b_{n} ao nosso f. Como f(x)=2 em -\pi<x<0 e f(x)=0 em 0<x<\pi, a integral se reduz ao intervalo onde f\neq0:
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} 2\sin(nx)\,dx + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} 0\cdot\sin(nx)\,dx.
A segunda integral vale zero, logo
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo (mostrando a primitiva e a avaliação de limites):
A primitiva de \sin(nx) é -\dfrac{1}{n}\cos(nx). Assim,
\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{1}{n}\cos(nx)\right]_{x=-\pi}^{x=0} = -\frac{1}{n}\bigl(\cos(0)-\cos(-n\pi)\bigr).
Como \cos(0)=1 e \cos(-n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}, obtemos
\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx = -\frac{1}{n}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr) = \frac{1}{n}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).

Passo 5

Substituindo esse resultado em b_{n}:
b_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\bigl((-1)^{n}-1\bigr) =\frac{2}{n\pi}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Essa expressão pode ser simplificada observando a paridade de n:
  • Se n é par, então (-1)^{n}=1, portanto (-1)^{n}-1=0 e
b_{n}=0\quad\text{para \(n\) par.}
  • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1, portanto (-1)^{n}-1=-2 e
b_{n}=\frac{2}{n\pi}\cdot(-2)=-\frac{4}{n\pi}\quad\text{para \(n\) ímpar.}í

Passo 6

Pequeno exemplo numérico para fixar (aula prática):
  • Para n=1 (ímpar): b_{1}=-\dfrac{4}{1\pi}=-\dfrac{4}{\pi}.
  • Para n=2 (par): b_{2}=0.
    Isto confirma o padrão alternado: somente os senos de índice ímpar aparecem, com coeficiente negativo.

Passo 7

Agora a parte (b): valor da série de Fourier em x=0. Aula rápida sobre o que acontece em pontos de descontinuidade:
O Teorema de Dirichlet (resultado padrão sobre séries de Fourier) diz que, se f tem apenas um número finito de descontinuidades e é integrável, então a série de Fourier em um ponto x_{0} converge para a média dos limites laterais:
\text{valor da série em }x_{0}=\frac{f(x_{0}^-)+f(x_{0}^+)}{2},é
onde f(x_{0}^-)=\lim_{x\to x_{0}^-}f(x) e f(x_{0}^+)=\lim_{x\to x_{0}^+}f(x).

Passo 8

Aplicando isso em x=0:
f(0^-)=\lim_{x\to0^-}f(x)=2,\qquad f(0^+)=\lim_{x\to0^+}f(x)=0.
A média é
\frac{f(0^-)+f(0^+)}{2}=\frac{2+0}{2}=1.
Portanto a série de Fourier converge para 1 em x=0.

Resposta

(a) b_{n}=\dfrac{2}{n\pi}\bigl((-1)^{n}-1\bigr)=\begin{cases}0, & n\\ \text{par},\\[4pt] -\dfrac{4}{n\pi}, & n\\ \text{ímpar};\end{cases}í
(b) 1]

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