(1,0 points) Considere f(x)=2 x-1, definida em [0, \pi].
(a) Faça a extensão ímpar para [-\pi, \pi].
(b) Determine o coeficiente geral da série de senos.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em [0,\pi]:
f(x)=2x-1,\qquad 0\le x\le\pi.
As perguntas são:
(a) Fazer a extensão ímpar dessa função para o intervalo [- \pi,\pi].
(b) Determinar o coeficiente geral da série em senos (isto é, os coeficientes b_n da série de Fourier da extensão ímpar), para n\ge1.

Passo 2

O que significa “extensão ímpar”?
Uma função g é ímpar se vale g(-x)=-g(x) para todo x. Para construir a extensão ímpar f_{\text{odd}} de f definida em [0,\pi] para [- \pi,\pi], procede-se assim:
  • Para x\in[0,\pi] mantemos f_{\text{odd}}(x)=f(x)=2x-1.
  • Para x\in[-\pi,0) definimos f_{\text{odd}}(x)=-f(-x) (essa é a condição de simetria ímpar).

Passo 3

Calcular explicitamente f_{\text{odd}}(x) para x<0. Para x\in[-\pi,0) temos -x\in(0,\pi], então
f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.
Pela definição da extensão ímpar,
f_{\text{odd}}(x)=-f(-x)=-(-2x-1)=2x+1,\qquad -\pi\le x<0.
No ponto x=0 a função ímpar tem que ter valor 0 para ser estritamente ímpar; portanto usualmente tomamos f_{\text{odd}}(0)=0. Observação: há uma descontinuidade em 0, pois \lim_{x\to0^+}f(x)=-1 e \lim_{x\to0^-}f_{\text{odd}}(x)=1.
Assim a extensão ímpar é a função peça‑por‑peça
f_{\text{odd}}(x)= \begin{cases} 2x+1, & -\pi\le x<0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] 2x-1, & 0< x\le\pi. \end{cases}]

Passo 4

Agora vamos obter o coeficiente geral da série de senos. Para a função ímpar periódica de período 2\pi os termos de cosseno desaparecem e os coeficientes de seno são dados por
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f_{\text{odd}}(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge1.
Como f_{\text{odd}}(x) é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, o produto f_{\text{odd}}(x)\sin(nx) é função par. Portanto podemos simplificar a integral:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
onde usei que para x\in[0,\pi] temos f_{\text{odd}}(x)=f(x)=2x-1.

Passo 5

Calcular a integral
\int_{0}^{\pi} (2x-1)\sin(nx)\,dx =2\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx-\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por partes. Tomando u=x e dv=\sin(nx)\,dx temos du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx =\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
A primeira parcela é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}-0. A segunda integral vale
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-0}{n}=0.
Portanto
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi(-1)^n}{n}.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx. Isso é direto:
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left.-\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} =\frac{1-(-1)^n}{n}.

Passo 8

Substituir os resultados em \displaystyle \int_{0}^{\pi} (2x-1)\sin(nx)\,dx:
\int_{0}^{\pi} (2x-1)\sin(nx)\,dx =2\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right)-\frac{1-(-1)^n}{n} =\frac{(-1)^n(1-2\pi)-1}{n}.
(Detalhe algébrico: 2\big(-\pi(-1)^n/n\big)-\big(1-(-1)^n\big)/n = \big((-1)^n(1-2\pi)-1\big)/n.)

Passo 9

Aplicar a fórmula para b_n:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(2x-1)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n(1-2\pi)-1}{n}.
Podemos escrever de forma equivalente:
b_n=\frac{2}{\pi n}\Big((1-2\pi)(-1)^n-1\Big),\qquad n\ge1.

Resposta

(a) f_{\text{odd}}(x)= \begin{cases} 2x+1, & -\pi\le x<0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] 2x-1, & 0< x\le\pi, \end{cases}
(b) b_n=\frac{2}{\pi n}\Big((1-2\pi)(-1)^n-1\Big),\qquad n\ge1.]

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