(1,0 points) Considere f(x)=2 x-1, definida em [0, \pi].
(a) Faça a extensão ímpar para [-\pi, \pi].
(b) Determine o coeficiente geral da série de senos.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em [0,\pi]:
f(x)=2x-1,\qquad 0\le x\le\pi.
As perguntas são:
(a) Fazer a extensão ímpar dessa função para o intervalo [- \pi,\pi].
(b) Determinar o coeficiente geral da série em senos (isto é, os coeficientes b_n da série de Fourier da extensão ímpar), para n\ge1.
Passo 2
O que significa “extensão ímpar”?
Uma função g é ímpar se vale g(-x)=-g(x) para todo x. Para construir a extensão ímpar f_{\text{odd}} de f definida em [0,\pi] para [- \pi,\pi], procede-se assim:
Para x\in[0,\pi] mantemos f_{\text{odd}}(x)=f(x)=2x-1.
Para x\in[-\pi,0) definimos f_{\text{odd}}(x)=-f(-x) (essa é a condição de simetria ímpar).
Passo 3
Calcular explicitamente f_{\text{odd}}(x) para x<0. Para x\in[-\pi,0) temos -x\in(0,\pi], então
No ponto x=0 a função ímpar tem que ter valor 0 para ser estritamente ímpar; portanto usualmente tomamos f_{\text{odd}}(0)=0. Observação: há uma descontinuidade em 0, pois \lim_{x\to0^+}f(x)=-1 e \lim_{x\to0^-}f_{\text{odd}}(x)=1.
Agora vamos obter o coeficiente geral da série de senos. Para a função ímpar periódica de período 2\pi os termos de cosseno desaparecem e os coeficientes de seno são dados por