( 1,0 points) Considere a função periódica:
f(x)= \begin{cases}x, & -\pi<x<0 \\\\ 2 x, & 0<x<\pi\end{cases}
(a) Verifique se a função é par ou ímpar.
(b) Escreva a forma geral da série de Fourier (sem calcular coeficientes).

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica definida em (- \pi,\pi)\) por partes: \[f(x)= \begin{cases}x, & -\pi<x<0 \\[4pt] 2x, & 0<x<\pi\end{cases}
As perguntas são:
(a) Verificar se a função é par ou ímpar (ou nenhuma das duas).
(b) Escrever a forma geral da série de Fourier (sem calcular os coeficientes).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida no intervalo (- \pi,\pi)\] e é periódica (presumivelmente com período \(2\pi).
  • Os valores de f para x positivos e negativos são diferentes (ou seja, a definição é diferente em cada semiperíodo).]

Passo 2

O que significa ser função par ou ímpar? Vou explicar bem devagar.
  • Uma função é par se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=f(x).
Geometricamente: simetria em relação ao eixo vertical.
  • Uma função é ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=-f(x).
Geometricamente: simetria rotacional de 180^\circ em torno da origem.
Para decidir a paridade de f precisamos comparar f(-x) com f(x) para todos os x em (- \pi,\pi). Se a igualdade das definições falhar para algum x então a propriedade correspondente (par ou ímpar) não vale.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente f(-x) em função de x. Precisamos estudar casos, porque f é por partes.
  • Se x está em (0,\pi), então -x está em (- \pi,0). Nesse caso:
f(x)=2x \quad\text{e}\quad f(-x)=(-x).
Compare:
f(-x)= -x \quad\text{e}\quad f(x)=2x.
Logo, para x\in(0,\pi) temos f(-x)\neq f(x) (porque -x\neq 2x salvo x=0) e também f(-x)\neq -f(x) (porque -x\neq -2x salvo x=0). Portanto, nem a condição de paridade nem a de imparidade é satisfeita para esses x.
  • Para ser completo: se x está em (- \pi,0), então -x\in(0,\pi). Nesse caso:
f(x)=x \quad\text{e}\quad f(-x)=2(-x)=-2x.
Compare:
f(-x)=-2x \quad\text{e}\quad f(x)=x.
Também aqui f(-x)\neq f(x) e f(-x)\neq -f(x) (porque -2x\neq x e -2x\neq -x salvo x=0).
Como já existe um intervalo (por exemplo x=\pi/2) em que nenhuma das condições é válida, concluímos que a função não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Pequeno exemplo numérico para fixar (é útil na prova): tome x=\dfrac{\pi}{2}.
f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\dfrac{\pi}{2}=\pi,\qquad f\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{2}.
Como -\dfrac{\pi}{2}\neq \pi e -\dfrac{\pi}{2}\neq -\pi, fica evidente que não é par nem ímpar.

Passo 5

Agora a série de Fourier. Vou te ensinar a forma geral para uma função 2\pi-periódica — isso é o que o professor espera que você escreva sem calcular coeficientes.
A série de Fourier de uma função 2\pi-periódica f(x) tem, em forma geral, a expressão
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • \dfrac{a_0}{2} é o termo médio (constante) da série.
  • a_n é o coeficiente do cosseno de frequência n (modo par).
  • b_n é o coeficiente do seno de frequência n (modo ímpar).
  • O símbolo \sim indica que a função é representada (em sentido apropriado: convergência pontual/quase em todo lugar ou média quadrática) pela série.
As fórmulas para os coeficientes, caso precise lembrar (não vamos calcular aqui), são
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n\ge 1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge 1.
Observação prática para prova:
  • Se f fosse par, todos os b_n seriam zero e a série reduziria a uma série em cossenos.
  • Se f fosse ímpar, todos os a_n (incluindo a_0) seriam zero e a série reduziria a uma série em senos.
  • Como no nosso caso f não é nem par nem ímpar, a forma geral completa (com cossenos e senos) é a correta.

Passo 6

Portanto, sem calcular os coeficientes, a forma geral da série de Fourier para a função dada (função 2\pi-periódica) é exatamente a forma completa indicada acima.

Resposta

(a) A função não é par nem ímpar.
(b) \displaystyle f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr)

Exercícios relacionados