para n\ge1. Explico o porquê dessas fórmulas de forma simples: são projeções de f nas funções ortogonais \{1,\cos nx,\sin nx\} no intervalo [-\pi,\pi] — isso garante que a série representa (na soma de Fourier) a componente média (a_0/2) mais as oscilações descritas por cossenos e senos.
Vou calcular a_0, todos os a_n e todos os b_n passo a passo.
A média da função (o termo constante na série) é \dfrac{a_0}{2}=1, o que faz sentido porque f(x)=x+1 tem média 1 sobre o intervalo simétrico.
Passo 4
Cálculo de a_n para n\ge1.
Observação prática (paridade): escrevendo f(x)=1+x, o termo 1 é uma função par (porque 1=1 para x e -x) e o termo x é ímpar (porque (-x)=-x). A função \cos nx é par. Então:
o produto (\text{par})\cdot(\text{par}) é par, logo \int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos nx\,dx pode ser não-nulo;
o produto (\text{ímpar})\cdot(\text{par}) é ímpar, logo \int_{-\pi}^{\pi} x\cos nx\,dx=0 (integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero).
Breve comentário final (útil para a prova): a parte 1 corresponde à média da função; a soma com senos representa a parte x (a função ímpar) estendida periodicamente. Em x=\pm\pi a extensão periódica tem salto (os valores à esquerda e à direita do ponto de quebra diferem) e a série converge nesses pontos para a média dos limites laterais, como manda o teorema de Dirichlet.