( 1,0 points) Considere a função periódica de período 2 \pi :
f(x)=x+1, \quad x \in[-\pi, \pi]
Determine sua série de Fourier completa.

Passo 1

O enunciado nos dá a função periódica de período 2\pi
f(x)=x+1,\qquad x\in[-\pi,\pi],
e pede: determinar a série de Fourier completa dessa função (a série com termos em \cos nx e \sin nx).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função está definida no intervalo principal [-\pi,\pi] e será estendida periodicamente com período 2\pi.
  • O que se pede é a série de Fourier na forma
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx + b_n\sin nx\bigr).

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (para período 2\pi). As coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx,
para n\ge1. Explico o porquê dessas fórmulas de forma simples: são projeções de f nas funções ortogonais \{1,\cos nx,\sin nx\} no intervalo [-\pi,\pi] — isso garante que a série representa (na soma de Fourier) a componente média ( a_0/2) mais as oscilações descritas por cossenos e senos.
Vou calcular a_0, todos os a_n e todos os b_n passo a passo.

Passo 3

Cálculo de a_0.
Começo avaliando a integral
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}(x+1)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx.
Calculo cada termo:
\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi^2}{2}=0,
\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=[x]_{-\pi}^{\pi}=\pi-(-\pi)=2\pi.
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=2\pi.
Usando a fórmula,
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi = 2.
A média da função (o termo constante na série) é \dfrac{a_0}{2}=1, o que faz sentido porque f(x)=x+1 tem média 1 sobre o intervalo simétrico.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1.
Observação prática (paridade): escrevendo f(x)=1+x, o termo 1 é uma função par (porque 1=1 para x e -x) e o termo x é ímpar (porque (-x)=-x). A função \cos nx é par. Então:
  • o produto (\text{par})\cdot(\text{par}) é par, logo \int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos nx\,dx pode ser não-nulo;
  • o produto (\text{ímpar})\cdot(\text{par})í é ímpar, logo \int_{-\pi}^{\pi} x\cos nx\,dx=0 (integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero).
Assim
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos nx\,dx.
Calculo essa integral:
\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx = \left[\frac{\sin nx}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{\sin n\pi-\sin(-n\pi)}{n}=\frac{0-0}{n}=0,
porque \sin n\pi=0 para todo n\in\mathbb{Z}. Portanto
a_n=0\quad\text{para todo } n\ge1.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1.
Novamente separamos f(x)=1+x. A função \sin nx é ímpar. Então:
  • o produto 1\cdot\sin nx é ímpar, logo \int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin nx\,dx=0;
  • o produto x\cdot\sin nx é par (ímpar vezes ímpar = par), então pode contribuir.
Assim
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin nx\,dx.
Como a integranda é par, posso escrever
\int_{-\pi}^{\pi} x\sin nx\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x\sin nx\,dx.
Calculo agora I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin nx\,dx por integração por partes. Escolho
u=x,\qquad dv=\sin nx\,dx\quad\Rightarrow\quad du=dx,\quad v=-\frac{\cos nx}{n}.
Então
I_n = uv\Big|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} v\,du = \left.-\frac{x\cos nx}{n}\right|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}\frac{\cos nx}{n}\,dx.
Avalio os termos:
\left.-\frac{x\cos nx}{n}\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi\cos n\pi}{n} - 0 = -\frac{\pi(-1)^n}{n},
e
\int_{0}^{\pi}\frac{\cos nx}{n}\,dx = \frac{1}{n}\left[\frac{\sin nx}{n}\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{n^2}\bigl(\sin n\pi - 0\bigr)=0.
Logo
I_n = -\frac{\pi(-1)^n}{n}.
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi} x\sin nx\,dx = 2I_n = -\frac{2\pi(-1)^n}{n}.
Finalmente
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{2\pi(-1)^n}{n}\right) = -\frac{2(-1)^n}{n}.
É mais conveniente reescrever o sinal:
b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.
Isso coincide com a série conhecida do termo \,x (a parte ímpar) que gera senos com coeficientes \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 6

Montagem da série de Fourier completa.
Usando os coeficientes encontrados:
  • \dfrac{a_0}{2}=1,
  • a_n=0 para n\ge1,
  • b_n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n} para n\ge1,
a série de Fourier completa fica
f(x)\sim 1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin nx =1 + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx.
Breve comentário final (útil para a prova): a parte 1 corresponde à média da função; a soma com senos representa a parte x (a função ímpar) estendida periodicamente. Em x=\pm\pi a extensão periódica tem salto (os valores à esquerda e à direita do ponto de quebra diferem) e a série converge nesses pontos para a média dos limites laterais, como manda o teorema de Dirichlet.

Resposta

f(x)=1 + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx.

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