(1,0 points) Calcule:
\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right) \sin (n x) d x
Justifique utilizando propriedades de paridade.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx
e justificar usando propriedades de paridade. As informações dadas são: o integrando é \left(x^{2}+x\right)\sin(nx) e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero, [-\pi,\pi]. Não foi especificado em detalhe o domínio de n, portanto trataremos primeiro o caso geral n\in\mathbb{Z} (inteiro); o caso n=0 será apontado separadamente porque gera divisão por n em passos posteriores.

Passo 2

Relembrando as definições e propriedades de paridade (passo-a-passo):
  • Uma função f é par se f(-x)=f(x) para todo x. Exemplo: x^{2} é par.
  • Uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x. Exemplo: x e \sin(nx) são ímpares.
  • Produto de funções: par \times par = par; par \times ímpar = ímpar; ímpar \times ímpar = par.
  • Integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [ -a,a] é zero:
\int_{-a}^{a} f_{\text{ímpar}}(x)\,dx = 0.í
  • Integral de uma função par em [-a,a] vale o dobro da integral de 0 a a:
\int_{-a}^{a} f_{\text{par}}(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f_{\text{par}}(x)\,dx.
Agora identifique a paridade de cada fator:
  • x^{2} é par.
  • x é ímpar.
  • \sin(nx) é ímpar (para todo inteiro n).

Passo 3

Use a paridade para separar o integrando:
\left(x^{2}+x\right)\sin(nx) = x^{2}\sin(nx) + x\sin(nx).
  • x^{2}\sin(nx): par \times ímpar = ímpar. Logo x^{2}\sin(nx) é ímpar.
  • x\sin(nx): ímpar \times ímpar = par. Logo x\sin(nx) é par.
Pela propriedade da integral de funções ímpares em intervalo simétrico:
\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\sin(nx)\,dx = 0.
Pela propriedade da integral de funções pares:
\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Portanto a integral original reduz-se a
\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Calcule \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes. Escolher:
u = x,\qquad dv = \sin(nx)\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = -\frac{1}{n}\cos(nx).
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left. u v \right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} v\,du = \left.-\frac{x}{n}\cos(nx)\right|_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Avalie os termos separadamente:
  • Termo de fronteira:
\left.-\frac{x}{n}\cos(nx)\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi) - 0 = -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi).
  • A integral de \cos(nx):
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left.\frac{1}{n}\sin(nx)\right|_{0}^{\pi} = \frac{1}{n}\big(\sin(n\pi)-\sin(0)\big)=0,
pois \sin(n\pi)=0 para inteiro n.
Logo
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi).

Passo 5

Volte ao resultado do Passo 3:
\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = 2\left(-\frac{\pi}{n}\cos(n\pi)\right).
Usando \cos(n\pi)=(-1)^{n}, obtém-se
\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx = -\frac{2\pi}{n}(-1)^{n} = \frac{2\pi}{n}(-1)^{\,n+1}.
Observação sobre o caso n=0: se n=0 então \sin(0\cdot x)=0 e a integral vale 0. A fórmula acima exige divisão por n, portanto não vale para n=0; o resultado para n=0 é separado.

Resposta

\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx=0 para n=0.\n \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx=\frac{2\pi}{n}(-1)^{\,n+1} para n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.

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