\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right) \sin (n x) d x
Justifique utilizando propriedades de paridade.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx
e justificar usando propriedades de paridade. As informações dadas são: o integrando é \left(x^{2}+x\right)\sin(nx) e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero, [-\pi,\pi]. Não foi especificado em detalhe o domínio de n, portanto trataremos primeiro o caso geral n\in\mathbb{Z} (inteiro); o caso n=0 será apontado separadamente porque gera divisão por n em passos posteriores.
Passo 2
Relembrando as definições e propriedades de paridade (passo-a-passo):
Uma função f é par se f(-x)=f(x) para todo x. Exemplo: x^{2} é par.
Uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x. Exemplo: x e \sin(nx) são ímpares.
Produto de funções: par \times par = par; par \times ímpar = ímpar; ímpar \times ímpar = par.
Integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [ -a,a] é zero:
\int_{-a}^{a} f_{\text{ímpar}}(x)\,dx = 0.
Integral de uma função par em [-a,a] vale o dobro da integral de 0 a a:
Observação sobre o caso n=0: se n=0 então \sin(0\cdot x)=0 e a integral vale 0. A fórmula acima exige divisão por n, portanto não vale para n=0; o resultado para n=0 é separado.
Resposta
\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx=0 para n=0.\n\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{2}+x\right)\sin(nx)\,dx=\frac{2\pi}{n}(-1)^{\,n+1} para n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.