O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 0,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Qual a taxa de variação do seu volume quando o raio R for igual a 8 cm ?
Nota: o volume da esfera é dado por \mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede a taxa de variação do volume da esfera no instante em que o raio vale 8\\ \mathrm{cm}. Ou seja, quer \dfrac{dV}{dt} quando R=8\\ \mathrm{cm}.
  • Informação dada: o raio está aumentando à taxa \dfrac{dR}{dt}=0,4\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}.
  • Fórmula do volume (dada): V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
Resumo das quantidades conhecidas:
  • R=8\\ \mathrm{cm},
  • \dfrac{dR}{dt}=0,4\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s},
  • buscar \dfrac{dV}{dt} nesse instante.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): relação de taxas (related rates).
  • Quando duas grandezas dependem do tempo (aqui V(t) e R(t)), diferenciamos a relação que as liga em função do tempo.
  • Ao derivar R^{3} em relação a t usamos a regra da cadeia: a derivada de R^{3} em relação a t é 3R^{2}\dfrac{dR}{dt}. Isso ocorre porque primeiro diferenciamos a potência como se R fosse a variável (dando 3R^{2}) e depois multiplicamos pela taxa de variação de R em relação a t (ou seja \dfrac{dR}{dt}).
Explicando cada símbolo:
  • V é o volume da esfera (em \mathrm{cm}^3),
  • R é o raio (em \mathrm{cm}),
  • t é o tempo (em \mathrm{s}),
  • \dfrac{dV}{dt} é a taxa que queremos (variação do volume por unidade de tempo),
  • \dfrac{dR}{dt} é a taxa de variação do raio (dada).

Passo 3

Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo t:
V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}
Derivando ambos os lados em relação a t:
\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 3R^{2}\dfrac{dR}{dt}.
Simplificando o 3 com \dfrac{4}{3}:
\dfrac{dV}{dt}=4\pi R^{2}\dfrac{dR}{dt}.
Essa fórmula tem uma interpretação física bonita: a razão de variação do volume é igual à área da superfície ( 4\pi R^{2}) multiplicada pela velocidade com que o raio cresce ( \dfrac{dR}{dt}).

Passo 4

Substituir os valores numéricos ( R=8\\ \mathrm{cm} e \dfrac{dR}{dt}=0,4\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}) e calcular passo a passo.
Calcule R^{2}:
R^{2}=8^{2}=64.
Agora calcule:
\dfrac{dV}{dt}=4\pi\cdot 64 \cdot 0,4.
Multiplicando em etapas:
4\cdot 64=256,
256\cdot 0,4=102{,}4.
Portanto
\dfrac{dV}{dt}=102{,}4\pi\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor decimal):
  • Valor exato em termos de \pi: \dfrac{dV}{dt}=102{,}4\pi\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.
  • Valor aproximado usando \pi\approx 3{,}14159:
\dfrac{dV}{dt}\approx 321{,}7\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.

Resposta

\dfrac{dV}{dt}=102{,}4\pi\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}\approx 321{,}7\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}

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