O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do seu volume quando o raio R for igual a 8 cm ?
Nota: o volume da esfera é dado por
.
Nota: o volume da esfera é dado por
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede a taxa de variação do volume da esfera no instante em que o raio vale
. Ou seja, quer quando . - Informação dada: o raio está aumentando à taxa
. - Fórmula do volume (dada):
.
Resumo das quantidades conhecidas:
-
, -
, - buscar
nesse instante.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): relação de taxas (related rates).
- Quando duas grandezas dependem do tempo (aqui
e ), diferenciamos a relação que as liga em função do tempo. - Ao derivar
em relação a usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é . Isso ocorre porque primeiro diferenciamos a potência como se fosse a variável (dando ) e depois multiplicamos pela taxa de variação de em relação a (ou seja ).
Explicando cada símbolo:
-
é o volume da esfera (em ), -
é o raio (em ), -
é o tempo (em ), -
é a taxa que queremos (variação do volume por unidade de tempo), -
é a taxa de variação do raio (dada).
Passo 3
Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Simplificando o
com
:
Essa fórmula tem uma interpretação física bonita: a razão de variação do volume é igual à área da superfície (
) multiplicada pela velocidade com que o raio cresce (
).
Passo 4
Substituir os valores numéricos (
e
) e calcular passo a passo.
Calcule :
Calcule
Agora calcule:
Multiplicando em etapas:
Portanto
Passo 5
Interpretação e aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor decimal):
- Valor exato em termos de
: . - Valor aproximado usando
: