(2 points) Determine o limite das seguintes funções, caso existan
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{A} \cdots y^{1}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{m}y^{n}}{x^{2}+y^{2}},
onde, para poder tratar o problema de forma geral (já que o texto original está ambíguo quanto aos expoentes), vamos denotar os expoentes por m e n e assumir que são inteiros não negativos ( m,n\in\mathbb{Z}_{\ge0}).
Informações dadas:
  • A função considerada é \dfrac{x^{m}y^{n}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto onde se aproxima é (x,y)\to(0,0).
    O que se pede:
  • Determinar quando esse limite existe e qual é o seu valor, em função de m e n.

Passo 2

Troca para coordenadas polares (uma técnica padrão para limites em duas variáveis): escrever
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta\in\mathbb{R}. Então
x^{m}y^{n} = r^{m+n}\cos^{m}\theta\sin^{n}\theta, \qquad x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Substituindo na função:
\frac{x^{m}y^{n}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{m+n}\cos^{m}\theta\sin^{n}\theta}{r^{2}} = r^{\,m+n-2}\,\cos^{m}\theta\sin^{n}\theta.
Esta expressão é útil porque separa a dependência em r (que tende a 0) da dependência angular (em \theta). A partir daqui analisamos o expoente
\alpha := m+n-2.

Passo 3

Caso \alpha>0 (ou seja, m+n>2):
\left|\frac{x^{m}y^{n}}{x^{2}+y^{2}}\right| = r^{\alpha}\,|\cos^{m}\theta\sin^{n}\theta| \le r^{\alpha},
pois |\cos^{m}\theta\sin^{n}\theta|\le1. Como r\to0 e \alpha>0, temos r^{\alpha}\to0. Portanto a função tende a 0 independentemente de \theta. Conclusão: se m+n>2 o limite existe e é 0.
Exemplo concreto para fixar a ideia: para m=2,n=1 (aí m+n=3>2), a expressão em polares é r^{1}\cos^{2}\theta\sin\theta que vai a 0 quando r\to0.

Passo 4

Caso \alpha=0 (ou seja, m+n=2):
A expressão em polares fica
\frac{x^{m}y^{n}}{x^{2}+y^{2}}=\cos^{m}\theta\sin^{n}\theta,
que depende só de \theta e não de r. Como o valor depende da direção pela qual (x,y) se aproxima de (0,0), em geral o limite não existe (porque diferentes \theta dão valores diferentes). Exemplo: para m=2,n=0 tem-se \cos^{2}\theta — ao aproximar por x-axis ( \theta=0) dá 1, por y-axis ( \theta=\pi/2) dá 0; valores diferentes mostram que não há limite. Portanto, para m+n=2 o limite, em geral, não existe (salvo em casos especiais em que \cos^{m}\theta\sin^{n}\theta seja constante — o que só ocorre em situações triviais/degeneradas).

Passo 5

Caso \alpha<0 (ou seja, m+n<2):
Aqui r^{\alpha}=r^{m+n-2} tem potência negativa em r, logo diverge quando r\to0. Mais precisamente, para qualquer direção fixa com \cos^{m}\theta\sin^{n}\theta\neq0 a magnitude da expressão cresce sem limite quando r diminui, portanto não existe limite finito (a função é não limitada perto da origem). Exemplo simples: m=0,n=0 \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}} que tende a +\infty quando (x,y)\to(0,0). Para m+n<2 o limite não existe como número finito (é divergente).

Passo 6

Resumo interpretativo e dica prática para prova: a chave é calcular m+n-2.
  • Se for positivo, a potência de r faz a expressão ir para 0 uniformemente em todas as direções.
  • Se for zero, obtém-se uma função de \theta que geralmente varia com a direção → limite não existe.
  • Se for negativo, a expressão diverge → limite não existe (não finito).

Resposta

Se m+n>2, o limite existe e vale 0.
Se m+n=2, o limite, em geral, não existe (depende de \theta).
Se m+n<2, o limite não existe (a expressão diverge).

Exercícios relacionados