3- Polarizador

(A) Apresente e discuta a lei de Malus para transmissão da luz em um polarizador. (B) Usando a calculadora obtenha valores de \cos ^{2} \theta em intervalos de 5^{\circ} e construa uma tabela \cos ^{2} \theta x \theta. Use esses resultados para traçar o gráfico da intensidade da luz transmitida em um polarizador, I(\theta). Se você domina alguma linguagem de cálculo numérico (Python, \mathrm{C}++, \ldots ) ou software gráfico pode usá-lo diretamente com intervalos entre os ângulos menores que 5^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (A) Apresentar e discutir a lei de Malus para a transmissão da luz em um polarizador.
  • (B) Obter valores numéricos de \cos^{2}\theta em intervalos de 5^\circ, montar uma tabela \theta \times \cos^{2}\theta e usar isso para traçar o gráfico da intensidade transmitida I(\theta).
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • A intensidade transmitida por um polarizador depende do ângulo relativo entre a direção de polarização da luz incidente e o eixo do polarizador; esse ângulo é chamado de \theta.
  • Pode-se normalizar a intensidade incidente como I_0 e expressar a intensidade transmitida em função de \theta.

Passo 2

Apresentação e derivação passo a passo da lei de Malus (explicação didática).
  1. Modelo físico e o que cada símbolo significa:
    • Considere uma onda eletromagnética monocromática, polarizada linearmente, com amplitude do campo elétrico máxima E_0 na direção da polarização. A intensidade luminosa I é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico (média temporal): I\propto E^{2}. No nosso texto vamos usar I_0 para a intensidade antes do polarizador e I(\theta) para a intensidade transmitida quando o polarizador está em ângulo \theta relativo à direção de polarização.
  2. Decomposição do campo elétrico:
    • Se o polarizador aceita apenas a componente do campo elétrico ao longo do seu eixo (direção do transmissor), a componente do campo elétrico incidente ao longo desse eixo é a projeção de E_0 sobre o eixo do polarizador. Essa projeção vale E_{||}=E_0\cos\theta. Aqui \theta é o ângulo entre a direção de polarização da onda incidente e o eixo do polarizador.
    • Importante: como energia (intensidade) depende de E^{2}, a intensidade associada a essa componente é proporcional a (E_{||})^{2}=(E_0\cos\theta)^{2}=E_0^{2}\cos^{2}\theta.
  3. Fórmula final (lei de Malus):
    • Definindo a intensidade incidente associada a E_0 como I_0 (logo I_0\propto E_0^{2}), a intensidade transmitida por um polarizador ideal, para luz perfeitamente polarizada na direção inicial, é
I(\theta)=I_0\cos^{2}\theta.
  • Explicando as variáveis: I(\theta) é a intensidade transmitida quando o ângulo relativo é \theta; I_0 é a intensidade incidente na entrada do polarizador; \theta é medido entre a direção de polarização da luz incidentes e o eixo do polarizador; \cos\theta é a projeção e o quadrado aparece porque intensidade ∝ amplitude ao quadrado.
  1. Observações físicas e limitações do modelo:
    • A lei de Malus vale para um polarizador ideal e para luz polarizada linearmente. Polarizadores reais têm eficiência finita (extinction ratio finito) e alguma perda de intensidade independente do ângulo.
    • Para luz não-polarizada (ou com polarização aleatória), a média de \cos^{2}\theta sobre todas as direções dá 1/2. Assim, para luz não-polarizada incidente em um polarizador ideal a intensidade transmitida média é
I_{\text{trans}}=\frac{1}{2}I_{0,\text{unpol}},
ou seja, metade da intensidade é transmitida por um polarizador ideal quando a luz é completamente não-polarizada.

Passo 3

Casos especiais e interpretação prática (para memorizar na prova):
  • \theta=0^\circ: eixo do polarizador alinhado com a polarização incidente. Então
I(0^\circ)=I_0\cos^{2}0^\circ=I_0\cdot 1 = I_0.
  • \theta=90^\circ: eixo do polarizador perpendicular; \cos 90^\circ=0, logo
I(90^\circ)=0.
  • Periodicidade: \cos^{2}\theta tem período \pi (ou 180^\circ), então I(\theta+\,180^\circ)=I(\theta).
  • Forma do gráfico: I(\theta) varia suavemente entre I_0 e 0 seguindo uma curva \cos^{2}\theta. Entre 0^\circ e 90^\circ decresce de I_0 a 0; entre 90^\circ e 180^\circ aumenta de 0 a I_0.

Passo 4

Tabela de \theta x \cos^{2}\theta em passos de 5^\circ. Normalizamos tomando I_0=1, assim I(\theta)/I_0=\cos^{2}\theta. Cada linha apresenta \theta e o valor numérico de \cos^{2}\theta (aproximado com 6 casas decimais). Usei valores de cosseno padrão (pode checar com calculadora científica):
0^\circ:\\ \cos^{2}0^\circ = 1,000000
5^\circ:\\ \cos^{2}5^\circ = 0,992404
10^\circ:\\ \cos^{2}10^\circ = 0,969846
15^\circ:\\ \cos^{2}15^\circ = 0,933013
20^\circ:\\ \cos^{2}20^\circ = 0,883022
25^\circ:\\ \cos^{2}25^\circ = 0,821394
30^\circ:\\ \cos^{2}30^\circ = 0,750000
35^\circ:\\ \cos^{2}35^\circ = 0,671010
40^\circ:\\ \cos^{2}40^\circ = 0,586824
45^\circ:\\ \cos^{2}45^\circ = 0,500000
50^\circ:\\ \cos^{2}50^\circ = 0,413176
55^\circ:\\ \cos^{2}55^\circ = 0,328990
60^\circ:\\ \cos^{2}60^\circ = 0,250000
65^\circ:\\ \cos^{2}65^\circ = 0,178606
70^\circ:\\ \cos^{2}70^\circ = 0,116978
75^\circ:\\ \cos^{2}75^\circ = 0,066987
80^\circ:\\ \cos^{2}80^\circ = 0,030154
85^\circ:\\ \cos^{2}85^\circ = 0,007596
90^\circ:\\ \cos^{2}90^\circ = 0,000000
95^\circ:\\ \cos^{2}95^\circ = 0,007596
100^\circ:\\ \cos^{2}100^\circ = 0,030154
105^\circ:\\ \cos^{2}105^\circ = 0,066987
110^\circ:\\ \cos^{2}110^\circ = 0,116978
115^\circ:\\ \cos^{2}115^\circ = 0,178606
120^\circ:\\ \cos^{2}120^\circ = 0,250000
125^\circ:\\ \cos^{2}125^\circ = 0,328990
130^\circ:\\ \cos^{2}130^\circ = 0,413176
135^\circ:\\ \cos^{2}135^\circ = 0,500000
140^\circ:\\ \cos^{2}140^\circ = 0,586824
145^\circ:\\ \cos^{2}145^\circ = 0,671010
150^\circ:\\ \cos^{2}150^\circ = 0,750000
155^\circ:\\ \cos^{2}155^\circ = 0,821394
160^\circ:\\ \cos^{2}160^\circ = 0,883022
165^\circ:\\ \cos^{2}165^\circ = 0,933013
170^\circ:\\ \cos^{2}170^\circ = 0,969846
175^\circ:\\ \cos^{2}175^\circ = 0,992404
180^\circ:\\ \cos^{2}180^\circ = 1,000000
Observação: a simetria aparece claramente: \cos^{2}(180^\circ-\theta)=\cos^{2}\theta.

Passo 5

Como traçar o gráfico I(\theta) usando esses dados (duas opções rápidas):
  1. Traçado manual (caneta / papel milimetrado):
    • No eixo horizontal coloque \theta de 0^\circ a 180^\circ (marca a cada 10^\circ ou 20^\circ).
    • No eixo vertical coloque I/I_0=\cos^{2}\theta de 0 a 1.
    • Plote os pontos (\theta,\cos^{2}\theta) usando a tabela do Passo 4 e una-os com uma curva suave. Vai aparecer a clássica curva de \cos^{2}.
  2. Usando Python (recomendado se quiser gráfico mais preciso; copie e execute num ambiente com matplotlib). Exemplo de código:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

theta_deg = np.arange(0, 181, 5)                 # 0 a 180 com passo 5
theta_rad = np.deg2rad(theta_deg)                # converter para radianos
I_norm = np.cos(theta_rad)**2                    # I/I0 = cos^2(theta)

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(theta_deg, I_norm, marker='o', linestyle='-')
plt.xlabel('θ (graus)')
plt.ylabel('I(θ) / I0')
plt.title('Lei de Malus: I(θ) = I0 cos^2 θ')
plt.grid(True)
plt.ylim(-0.05,1.05)
plt.xlim(0,180)
plt.show()
  • O gráfico resultante mostrará os pontos da tabela ligados por uma curva suave com máximo 1 em 0^\circ e 180^\circ e mínimo 0 em 90^\circ.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (foi pensando em você, que está com pressa):
  • Decore a fórmula principal: \;I(\theta)=I_0\cos^{2}\theta\;. É a peça central; com ela você responde (A) imediatamente.
  • Para questões pequenas, memorizar os casos \theta=0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ ajuda:
    \cos^{2}0^\circ=1, \cos^{2}30^\circ=0,75, \cos^{2}45^\circ=0,5, \cos^{2}60^\circ=0,25, \cos^{2}90^\circ=0.
  • Se pedirem luz não-polarizada passando por um polarizador, lembre: transmite metade da intensidade média ( I_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}I_0).
  • Se o enunciado citar polarizadores reais, mencione perdas e razão de extinção (não idealidade) se for apropriado.
  • Ao desenhar o gráfico à mão, concentre-se nos pontos marcantes e na forma suave; não precisa fazer muitos pontos, com 9–13 pontos bem colocados já fica ótimo.

Resposta

(A) \;I(\theta)=I_0\cos^{2}\theta.\n(B) Tabela de \theta e \cos^{2}\theta em passos de 5^\circ (normalização I_0=1) apresentada no Passo 4; o gráfico é I(\theta)/I_0=\cos^{2}\theta (pode ser traçado usando o código Python do Passo 5).

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