Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x, partindo do repouso na origem no instante t=0. Sua aceleração varia com o tempo de acordo com a expressão
a(t)=a_{0}+b t-c t^{2}
em que
a_{0}=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad b=0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}, \quad c=0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{4}
Sabendo que o movimento ocorre durante os primeiros 10 s , determine:
(a) a função velocidade v(t);
(b) a função posição x(t);
(c) os esboços dos gráficos de a(t), v(t) e x(t) em função do tempo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a aceleração da partícula varia com o tempo segundo
a(t)=a_{0}+b\,t-c\,t^{2},
com os valores
a_{0}=1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad b=0{,}6\\ \mathrm{m/s^{3}},\quad c=0{,}05\\ \mathrm{m/s^{4}}.
  • Condições iniciais: partiu do repouso na origem em t=0. Ou seja,
v(0)=0,\qquad x(0)=0.
  • Intervalo de interesse: 0\le t\le 10\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) a função velocidade v(t);
(b) a função posição x(t);
(c) os esboços dos gráficos de a(t),\\ v(t) e x(t) em função do tempo (no intervalo dado).

Passo 2

Como obter v(t) a partir de a(t) — regra básica e integração.
  • Lembrando a relação fundamental entre aceleração e velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
  • Para obter v(t), integramos a(t) em relação a t. Regra usada: para qualquer inteiro n\ge 0,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aplicando termo a termo em a(t)=a_{0}+b t-c t^{2}:
Em forma de integral:
v(t)=\int a(t)\,dt=\int\bigl(a_{0}+b t-c t^{2}\bigr)\,dt.
Agora integramos cada termo:
\int a_{0}\,dt = a_{0}\,t,\qquad \int b t\,dt = \frac{b}{2}\,t^{2},\qquad \int -c t^{2}\,dt = -\frac{c}{3}\,t^{3}.
Portanto:
v(t)=a_{0}\,t+\frac{b}{2}\,t^{2}-\frac{c}{3}\,t^{3}+C_1,
onde C_1 é constante de integração que determinamos com a condição inicial v(0)=0. Substituindo t=0:
0=v(0)=C_1\quad\Rightarrow\quad C_1=0.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos e simplificando v(t).
  • Substituindo a_{0}=1{,}0,\\ b=0{,}6,\\ c=0{,}05 e lembrando que 0{,}6=3/5 e 0{,}05=1/20, temos coeficientes simples:
\frac{b}{2}=\frac{0{,}6}{2}=0{,}3=\frac{3}{10},\qquad \frac{c}{3}=\frac{0{,}05}{3}=\frac{1}{60}.
Logo a expressão conveniente é
\boxed{\,v(t)=t+\frac{3}{10}t^{2}-\frac{1}{60}t^{3}\,}
com t em segundos e v em metros por segundo.
  • Verificação prática (valores úteis):
v(0)=0,\qquad v'(t)=a(t).
  • Valor numérico em t=10\\ \mathrm{s}:
v(10)=10+0{,}3\cdot100-\frac{1}{60}\cdot1000=10+30-16{,}666\ldots=23{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Como obter x(t) a partir de v(t) — segunda integração.
  • Sabendo v(t)=\dfrac{dx}{dt}, integramos v(t) para obter x(t):
x(t)=\int v(t)\,dt=\int\left(t+\frac{3}{10}t^{2}-\frac{1}{60}t^{3}\right)dt.
  • Integração termo a termo:
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2},\qquad \int \frac{3}{10}t^{2}\,dt=\frac{3}{10}\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{1}{10}t^{3},\qquad \int -\frac{1}{60}t^{3}\,dt=-\frac{1}{60}\cdot\frac{t^{4}}{4}=-\frac{1}{240}t^{4}.
  • Portanto:
x(t)=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{10}t^{3}-\frac{1}{240}t^{4}+C_2.
  • Determinamos C_2 pela condição x(0)=0, o que dá C_2=0.

Passo 5

Expressão final para x(t) e valores numéricos.
  • A forma simplificada é
\boxed{\,x(t)=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{10}t^{3}-\frac{1}{240}t^{4}\,}
com t em segundos e x em metros.
  • Valores úteis:
x(0)=0.
x(6)=\frac{1}{2}\cdot36+\frac{1}{10}\cdot216-\frac{1}{240}\cdot1296 =18+21{,}6-5{,}4=34{,}2\\ \mathrm{m}.
x(10)=\frac{1}{2}\cdot100+\frac{1}{10}\cdot1000-\frac{1}{240}\cdot10000 =50+100-41{,}666\ldots=108{,}333\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Análise detalhada do gráfico de a(t) (como esboçar e pontos-chave).
  • Função: a(t)=1+0{,}6t-0{,}05t^{2} é uma parábola que abre para baixo (coeficiente de t^{2} negativo).
  • Derivada de a(t): a'(t)=0{,}6-0{,}1t. Zera em
t_{\text{vértice}}=\frac{0{,}6}{0{,}1}=6\\ \mathrm{s},é
logo vértice (máximo) em t=6.
  • Valor no vértice:
a(6)=1+0{,}6\cdot6-0{,}05\cdot36=1+3{,}6-1{,}8=2{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Zeros de a(t) (resolver a(t)=0):
-0{,}05t^{2}+0{,}6t+1=0
ou
0{,}05t^{2}-0{,}6t-1=0.
Aplicando fórmula quadrática:
t=\frac{0{,}6\pm\sqrt{0{,}36+0{,}2}}{0{,}1}=\frac{0{,}6\pm\sqrt{0{,}56}}{0{,}1}\approx -1{,}483\\ \mathrm{s}\\ \text{e}\\\ 13{,}483\\ \mathrm{s}.
  • Conclusão no intervalo 0\le t\le 10: como as raízes são aproximadamente -1{,}48 e 13{,}48, a aceleração é positiva para todo t entre 0 e 10; cresce até t=6 e depois decresce, ficando ainda positiva em t=10 com a(10)=2{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Análise do gráfico de v(t).
  • v(t) é uma cúbica: v(t)=t+\tfrac{3}{10}t^{2}-\tfrac{1}{60}t^{3}.
  • Derivada: v'(t)=a(t). Como vimos, a(t)>0 para 0\le t\le 10, então v(t) é estritamente crescente nesse intervalo.
  • Concavidade de v(t): segunda derivada v''(t)=a'(t)=0{,}6-0{,}1t. Zera em t=6. Assim:
    • Para t<6: v''(t)>0 (concavidade para cima).
    • Para t>6: v''(t)<0 (concavidade para baixo).
    • Logo t=6 é ponto de inflexão de v(t).
  • Valores importantes:
v(0)=0,\qquad v(6)=6+0{,}3\cdot36-\frac{1}{60}\cdot216=6+10{,}8-3{,}6=13{,}2\\ \mathrm{m/s},
v(10)\approx 23{,}333\\ \mathrm{m/s}.
  • Esboço: começa em 0 com inclinação inicial a(0)=1, sobe com concavidade para cima até t=6, depois continua subindo mas com concavidade para baixo até t=10.

Passo 8

Análise do gráfico de x(t).
  • x(t) é um polinômio de grau 4:
x(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{1}{10}t^{3}-\tfrac{1}{240}t^{4}.
  • Derivadas relevantes:
    • x'(t)=v(t) (positivo e crescente no intervalo), logo x(t) é crescente em 0\le t\le 10.
    • x''(t)=a(t) (positivo no intervalo), logo x(t) é sempre côncavo para cima em 0\le t\le 10 (a curvatura aumenta até t=6 e depois diminui, mas permanece positiva).
  • Valores notáveis:
x(0)=0,\qquad x(6)=34{,}2\\ \mathrm{m},\qquad x(10)=108{,}333\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Esboço: começa em zero, curvatura pronunciada (aceleração crescente até t=6), crescimento mais “acelerado” até 6 s, depois mantém crescimento mas com taxa de aumento da inclinação diminuindo levemente (porque a(t) diminui após 6 s embora permaneça positiva).

Passo 9

Como desenhar rapidamente os esboços à mão (passo a passo prático).
  • Para a(t):
    1. Desenhe eixos t (0 a 10 s) e a (em m/s^2).
    2. Marque a(0)=1, vértice em (6,\\\ 2{,}8), e valor em t=10 que é 2{,}0.
    3. Trace uma parábola que passa por esses pontos, lembrando que o máximo está em t=6.
  • Para v(t):
    1. Eixos t e v.
    2. Marque v(0)=0, v(6)=13{,}2, v(10)\approx23{,}33.
    3. Comece em 0 com inclinação 1 (porque a(0)=1), curva para cima até t=6 (inflação), depois curva para baixo mas continua subindo.
  • Para x(t):
    1. Eixos t e x.
    2. Marque x(0)=0, x(6)=34{,}2, x(10)=108{,}33.
    3. Desenhe uma curva crescente, mais “aberta” (crescimento acelerado) até t=6, depois continua aumentando porém com aceleração menor (ainda positiva).
Força e ânimo: essas etapas são padrões (integrar aceleração para velocidade, integrar velocidade para posição, usar condições iniciais) — a prática com polinômios é ótima para ganhar confiança.

Resposta

(a) \displaystyle v(t)=t+\frac{3}{10}t^{2}-\frac{1}{60}t^{3}\\ \\ (\mathrm{m/s})
(b) \displaystyle x(t)=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{10}t^{3}-\frac{1}{240}t^{4}\\ \\ (\mathrm{m})
(c) a) a(t): parábola que abre para baixo, máximo em (t=6\\ \mathrm{s},\\ a=2{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}), com a(0)=1\\ \mathrm{m/s^{2}} e a(10)=2\\ \mathrm{m/s^{2}}; positiva em todo 0\le t\le10.
c) v(t): cúbica crescente em 0\le t\le10, v(0)=0, ponto de inflexão em t=6\\ \mathrm{s}, v(6)=13{,}2\\ \mathrm{m/s}, v(10)\approx23{,}333\\ \mathrm{m/s}.
d) x(t): função crescente (início em x(0)=0), x(6)=34{,}2\\ \mathrm{m}, x(10)\approx108{,}333\\ \mathrm{m}; curvatura positiva no intervalo (cresce mais rápido até t=6, depois cresce com aceleração menor mas positiva).

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