Uma partícula desloca-se ao longo do eixo
, partindo do repouso na origem no instante
. Sua aceleração varia com o tempo de acordo com a expressão
em que
Sabendo que o movimento ocorre durante os primeiros 10 s , determine:
(a) a função velocidade
;
(b) a função posição
;
(c) os esboços dos gráficos de
e
em função do tempo.
(a) a função velocidade
(b) a função posição
(c) os esboços dos gráficos de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a aceleração da partícula varia com o tempo segundo
com os valores
- Condições iniciais: partiu do repouso na origem em
. Ou seja,
- Intervalo de interesse:
.
O enunciado pede:
(a) a função velocidade ;
(b) a função posição ;
(c) os esboços dos gráficos de e
em função do tempo (no intervalo dado).
(a) a função velocidade
(b) a função posição
(c) os esboços dos gráficos de
Passo 2
Como obter
a partir de
— regra básica e integração.
- Lembrando a relação fundamental entre aceleração e velocidade:
- Para obter
, integramos em relação a . Regra usada: para qualquer inteiro ,
- Aplicando termo a termo em
:
Em forma de integral:
Agora integramos cada termo:
Portanto:
onde
é constante de integração que determinamos com a condição inicial
. Substituindo
:
Passo 3
Substituindo os valores numéricos e simplificando
.
- Substituindo
e lembrando que e , temos coeficientes simples:
Logo a expressão conveniente é
com
em segundos e
em metros por segundo.
- Verificação prática (valores úteis):
- Valor numérico em
:
Passo 4
Como obter
a partir de
— segunda integração.
- Sabendo
, integramos para obter :
- Integração termo a termo:
- Portanto:
- Determinamos
pela condição , o que dá .
Passo 5
Expressão final para
e valores numéricos.
- A forma simplificada é
com
em segundos e
em metros.
- Valores úteis:
Passo 6
Análise detalhada do gráfico de
(como esboçar e pontos-chave).
- Função:
é uma parábola que abre para baixo (coeficiente de negativo). - Derivada de
: . Zera em
logo vértice (máximo) em
.
- Valor no vértice:
- Zeros de
(resolver ):
ou
Aplicando fórmula quadrática:
- Conclusão no intervalo
: como as raízes são aproximadamente e , a aceleração é positiva para todo entre 0 e 10; cresce até e depois decresce, ficando ainda positiva em com .
Passo 7
Análise do gráfico de
.
-
é uma cúbica: . - Derivada:
. Como vimos, para , então é estritamente crescente nesse intervalo. - Concavidade de
: segunda derivada . Zera em . Assim: - Para
: (concavidade para cima). - Para
: (concavidade para baixo). - Logo
é ponto de inflexão de .
- Para
- Valores importantes:
- Esboço: começa em 0 com inclinação inicial
, sobe com concavidade para cima até , depois continua subindo mas com concavidade para baixo até .
Passo 8
Análise do gráfico de
.
-
é um polinômio de grau 4:
- Derivadas relevantes:
-
(positivo e crescente no intervalo), logo é crescente em . -
(positivo no intervalo), logo é sempre côncavo para cima em (a curvatura aumenta até e depois diminui, mas permanece positiva).
-
- Valores notáveis:
- Esboço: começa em zero, curvatura pronunciada (aceleração crescente até
), crescimento mais “acelerado” até s, depois mantém crescimento mas com taxa de aumento da inclinação diminuindo levemente (porque diminui após 6 s embora permaneça positiva).
Passo 9
Como desenhar rapidamente os esboços à mão (passo a passo prático).
-
Para
: - Desenhe eixos
(0 a 10 s) e (em m/s^2). - Marque
, vértice em , e valor em que é . - Trace uma parábola que passa por esses pontos, lembrando que o máximo está em
.
- Desenhe eixos
-
Para
: - Eixos
e . - Marque
, , . - Comece em 0 com inclinação 1 (porque
), curva para cima até (inflação), depois curva para baixo mas continua subindo.
- Eixos
-
Para
: - Eixos
e . - Marque
, , . - Desenhe uma curva crescente, mais “aberta” (crescimento acelerado) até
, depois continua aumentando porém com aceleração menor (ainda positiva).
- Eixos
Força e ânimo: essas etapas são padrões (integrar aceleração para velocidade, integrar velocidade para posição, usar condições iniciais) — a prática com polinômios é ótima para ganhar confiança.
Resposta
(a)
(b)
(c) a)
: parábola que abre para baixo, máximo em
, com
e
; positiva em todo
.
c) : cúbica crescente em
,
, ponto de inflexão em
,
,
.
d) : função crescente (início em
),
,
; curvatura positiva no intervalo (cresce mais rápido até
, depois cresce com aceleração menor mas positiva).
c)
d)