Um poliedro convexo apresenta faces tirangulares e quadrangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o número de faces do poliedro convexo. As informações dadas são:
  • O poliedro tem faces triangulares e quadrangulares.
  • O número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
  • O número de faces quadrangulares é igual a 5.

Passo 2

Vamos definir variáveis para organizar as informações:
  • Seja t o número de faces triangulares.
  • Seja q o número de faces quadrangulares.
  • Seja F o número total de faces.
  • Seja E o número de arestas.
  • Seja V o número de vértices (pode ser usado para checar consistência).
Pelo enunciado já sabemos que
q=5
e que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares, ou seja
E=4t.

Passo 3

Expressamos o número total de faces F em função de t e q:
F = t + q.
Como q=5, teremos mais adiante F=t+5.

Passo 4

Agora usamos a contagem das arestas por faces (argumento de contagem dupla): cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular contribui com 4 arestas; somando todas as arestas contadas por face obtemos 3t+4q. Mas essa soma conta cada aresta duas vezes (cada aresta pertence a duas faces), portanto vale a relação
2E = 3t + 4q.
Essa é uma relação padrão: soma dos comprimentos das fronteiras das faces = 2E.

Passo 5

Substituímos q=5 na relação anterior:
2E = 3t + 4\cdot 5 = 3t + 20.

Passo 6

Substituímos também a relação E=4t (dada no enunciado) em 2E = 3t + 20:
Primeiro calcule 2E usando E=4t:
2E = 2\cdot(4t) = 8t.
Agora igualamos:
8t = 3t + 20.
Resolvendo para t:
8t - 3t = 20 \implies 5t = 20 \implies t = 4.

Passo 7

Agora que encontramos t, calculamos E e F para finalizar:
E = 4t = 4\cdot 4 = 16,
F = t + q = 4 + 5 = 9.

Passo 8

(Facultativo, checagem via fórmula de Euler) Para poliedros convexos vale a fórmula de Euler:
V - E + F = 2.
Podemos obter V para checar consistência:
V = 2 + E - F = 2 + 16 - 9 = 9.
Não há contradição: V=9, E=16, F=9 satisfazem Euler.

Resposta

\,9\,

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