Um poliedro convexo apresenta faces tirangulares e quadrangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5 .
Passo 1
O enunciado pede: calcular o número de faces do poliedro convexo. As informações dadas são:
- O poliedro tem faces triangulares e quadrangulares.
- O número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
- O número de faces quadrangulares é igual a
.
Passo 2
Vamos definir variáveis para organizar as informações:
- Seja
o número de faces triangulares. - Seja
o número de faces quadrangulares. - Seja
o número total de faces. - Seja
o número de arestas. - Seja
o número de vértices (pode ser usado para checar consistência).
Pelo enunciado já sabemos que
e que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares, ou seja
Passo 3
Expressamos o número total de faces
em função de
e
:
Como
, teremos mais adiante
.
Passo 4
Agora usamos a contagem das arestas por faces (argumento de contagem dupla): cada face triangular contribui com
arestas e cada face quadrangular contribui com
arestas; somando todas as arestas contadas por face obtemos
. Mas essa soma conta cada aresta duas vezes (cada aresta pertence a duas faces), portanto vale a relação
Essa é uma relação padrão: soma dos comprimentos das fronteiras das faces =
.
Passo 5
Substituímos
na relação anterior:
Passo 6
Substituímos também a relação
(dada no enunciado) em
:
Primeiro calcule usando
:
Primeiro calcule
Agora igualamos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que encontramos
, calculamos
e
para finalizar:
Passo 8
(Facultativo, checagem via fórmula de Euler) Para poliedros convexos vale a fórmula de Euler:
Podemos obter
para checar consistência:
Não há contradição:
,
,
satisfazem Euler.