Dos ortoedros que podemso formar dispondo de 8 cubos iguais, determine o ortoedro de menor superfície.

Passo 1

O enunciado pede: dos ortoedros que podemos formar usando todos os 8 cubos idênticos, determinar qual tem a menor superfície.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Temos 8 cubos unitários (cada aresta tem comprimento 1).
  • Devemos juntar esses cubos para formar um ortoedro (caixa retangular cujas arestas são paralelas aos eixos).
  • Usamos todos os 8 cubos, sem sobrar nenhum.
    Pergunta clara: qual tripla de dimensões inteiras (a,b,c) com a, b, c positivos e abc=8 produz o ortoedro com menor superfície? E qual é essa superfície?

Passo 2

O que é a superfície de um ortoedro e como calculá-la:
Um ortoedro de arestas (comprimentos) a, b e c tem seis faces, duas de cada par de dimensões. A área total (superfície) é a soma das áreas dessas faces. A fórmula é
S = 2(ab + ac + bc),
onde a, b e c são os comprimentos das arestas paralelas entre si. Aqui ab é a área de uma face com lados a e b, etc. Nosso objetivo é minimizar S sob a restrição abc = 8 e a,b,c\in\mathbb{Z}_{+}.

Passo 3

Porque estamos montando o ortoedro com cubos unitários, as arestas a, b, c devem ser números inteiros positivos (medidos em número de cubos) e satisfazer
abc = 8.
Listamos as divisões possíveis de 8. Os divisores de 8 são 1,2,4,8. As tripas de inteiros positivos (a,b,c) com produto 8 (ignorando ordem) são:
  • (1,1,8),
  • (1,2,4),
  • (2,2,2).
    Não precisamos considerar permutações como (1,8,1) separadamente porque produzem o mesmo ortoedro (apenas rotacionado).

Passo 4

Calcular a superfície para (a,b,c)=(1,1,8):
Primeiro calculamos os produtos:
ab = 1\cdot 1 = 1,\quad ac = 1\cdot 8 = 8,\quad bc = 1\cdot 8 = 8.
Somando:
ab+ac+bc = 1 + 8 + 8 = 17.
Aplicando a fórmula da superfície:
S = 2(ab+ac+bc) = 2\cdot 17 = 34.
Portanto o ortoedro 1\times 1\times 8 tem superfície 34.

Passo 5

Calcular a superfície para (a,b,c)=(1,2,4):
Produtos:
ab = 1\cdot 2 = 2,\quad ac = 1\cdot 4 = 4,\quad bc = 2\cdot 4 = 8.
Somando:
ab+ac+bc = 2 + 4 + 8 = 14.
Superfície:
S = 2\cdot 14 = 28.
Portanto o ortoedro 1\times 2\times 4 tem superfície 28.

Passo 6

Calcular a superfície para (a,b,c)=(2,2,2):
Produtos:
ab = 2\cdot 2 = 4,\quad ac = 2\cdot 2 = 4,\quad bc = 2\cdot 2 = 4.
Somando:
ab+ac+bc = 4 + 4 + 4 = 12.
Superfície:
S = 2\cdot 12 = 24.
Portanto o ortoedro 2\times 2\times 2 (um cubo formado pelos 8 cubos) tem superfície 24.

Passo 7

Conclusão por comparação direta: entre os três candidatos as superfícies são 34, 28 e 24. A menor é 24, obtida em (2,2,2).
Comentário teórico (útil para a prova): para volume fixo abc real positivo, a soma ab+ac+bc é minimizada quando a=b=c. Uma demonstração rápida com a desigualdade média aritmética–geométrica (AM–GM): para os números positivos ab, ac, bc,
\frac{ab+ac+bc}{3} \ge (ab\cdot ac\cdot bc)^{1/3}.
O produto no lado direito é
ab\cdot ac\cdot bc = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2.
Tomando raiz cúbica:
(ab\cdot ac\cdot bc)^{1/3} = (abc)^{2/3}.
Com abc=8 temos (abc)^{2/3} = 8^{2/3} = 4. Então
ab+ac+bc \ge 3\cdot 4 = 12,
e portanto
S = 2(ab+ac+bc) \ge 24.
A igualdade ocorre quando ab=ac=bc, o que força a=b=c. Como abc=8, a solução inteira é a=b=c=2. Isso confirma que o mínimo admissível é S=24 e é atingido pelo cubo 2\times 2\times 2.

Passo 8

Força aí — a solução é simples quando você enumera as possibilidades e conhece a intuição (ou a AM–GM). Na prova, comece sempre listando os divisores e lembrando da fórmula S=2(ab+ac+bc): isso normalmente leva direto à resposta.

Resposta

Ortoedro 2\times 2\times 2 (cubo), superfície 24.

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