Dos ortoedros que podemso formar dispondo de 8 cubos iguais, determine o ortoedro de menor superfície.
Passo 1
O enunciado pede: dos ortoedros que podemos formar usando todos os
cubos idênticos, determinar qual tem a menor superfície.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Temos
cubos unitários (cada aresta tem comprimento ). - Devemos juntar esses cubos para formar um ortoedro (caixa retangular cujas arestas são paralelas aos eixos).
- Usamos todos os
cubos, sem sobrar nenhum.
Pergunta clara: qual tripla de dimensões inteirascom , , positivos e produz o ortoedro com menor superfície? E qual é essa superfície?
Passo 2
O que é a superfície de um ortoedro e como calculá-la:
Um ortoedro de arestas (comprimentos) ,
e
tem seis faces, duas de cada par de dimensões. A área total (superfície) é a soma das áreas dessas faces. A fórmula é
Um ortoedro de arestas (comprimentos)
onde
,
e
são os comprimentos das arestas paralelas entre si. Aqui
é a área de uma face com lados
e
, etc. Nosso objetivo é minimizar
sob a restrição
e
.
Passo 3
Porque estamos montando o ortoedro com cubos unitários, as arestas
,
,
devem ser números inteiros positivos (medidos em número de cubos) e satisfazer
Listamos as divisões possíveis de
. Os divisores de
são
. As tripas de inteiros positivos
com produto
(ignorando ordem) são:
-
, -
, -
.
Não precisamos considerar permutações comoseparadamente porque produzem o mesmo ortoedro (apenas rotacionado).
Passo 4
Calcular a superfície para
:
Primeiro calculamos os produtos:
Primeiro calculamos os produtos:
Somando:
Aplicando a fórmula da superfície:
Portanto o ortoedro
tem superfície
.
Passo 5
Calcular a superfície para
:
Produtos:
Produtos:
Somando:
Superfície:
Portanto o ortoedro
tem superfície
.
Passo 6
Calcular a superfície para
:
Produtos:
Produtos:
Somando:
Superfície:
Portanto o ortoedro
(um cubo formado pelos
cubos) tem superfície
.
Passo 7
Conclusão por comparação direta: entre os três candidatos as superfícies são
,
e
. A menor é
, obtida em
.
Comentário teórico (útil para a prova): para volume fixo
real positivo, a soma
é minimizada quando
. Uma demonstração rápida com a desigualdade média aritmética–geométrica (AM–GM): para os números positivos
,
,
,
O produto no lado direito é
Tomando raiz cúbica:
Com
temos
. Então
e portanto
A igualdade ocorre quando
, o que força
. Como
, a solução inteira é
. Isso confirma que o mínimo admissível é
e é atingido pelo cubo
.
Passo 8
Força aí — a solução é simples quando você enumera as possibilidades e conhece a intuição (ou a AM–GM). Na prova, comece sempre listando os divisores e lembrando da fórmula
: isso normalmente leva direto à resposta.
Resposta
Ortoedro
(cubo), superfície
.