Se o polinômio P(x)=x^{4}-2 x^{2}+m x+p é divisível por D(x)=x^{2}+1, o valor de m-p é:
a) -3
b) -1
c) 0
d) 2
e) 3

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o polinômio P(x)=x^{4}-2x^{2}+m x+p e sabemos que ele é divisível por D(x)=x^{2}+1. Para resolver, vamos usar o Teorema do Resto, que diz que se x^{2}+1 divide P(x), então as raízes de x^{2}+1, isto é \pm i, anulam P(x).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, basta impor
P(i)=0.

Passo 3

Calculando P(i): como i^{2}=-1 e i^{4}=1, temos
P(i)=1-2(-1)+m\,i+p=(1+2+p)+m\,i=(3+p)+m\,i=0.
Para esse número complexo ser zero, sua parte real e sua parte imaginária devem ser nulas. Logo
3+p=0 \quad\text{e}\quad m=0,
resultando em p=-3 e m=0.

Passo 4

Finalmente,
m-p=0-(-3)=3.

Resposta

e) 3

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