Um polinômio de grau 3 , na forma x^{3}+3 x^{2}-2 x+k=0, tem uma das raízes igual a 1 . Determine o valor de k e as demais raízes.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \;x^{3}+3x^{2}-2x+k=0\; e afirma que uma das raízes é \;1. As perguntas são:
  • Determinar o valor de \;k.
  • Determinar as demais raízes do polinômio.
Informações relevantes dadas:
  • O polinômio é de grau 3, logo tem exatamente três raízes (contando multiplicidade).
  • Sabemos explicitamente que uma raiz é \;1.

Passo 2

Ideia básica (Teorema do Resto / Teorema das Raízes): se \;r é raiz do polinômio P(x), então P(r)=0. Aqui podemos aplicar isso com r=1 para encontrar k. Substituindo x=1 no polinômio:
P(1)=1^{3}+3\cdot1^{2}-2\cdot1+k=0.
Agora calculamos os termos:
1^{3}=1,\qquad 3\cdot1^{2}=3,\qquad -2\cdot1=-2,
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1+3-2+k=0.

Passo 3

Continuando a conta do passo anterior:
1+3-2+k = (1+3-2)+k = 2+k.
Portanto
2+k=0\quad\Rightarrow\quad k=-2.
Conclusão intermediária: \;k=-2.

Passo 4

Agora reescrevemos o polinômio com \;k=-2:
x^{3}+3x^{2}-2x-2.
Como \;1 é raiz, pelo Teorema do Resto \;(x-1) é fator do polinômio. Vamos dividir o polinômio por \;(x-1) para obter um polinômio quadrático (quociente) cujas raízes serão as outras duas raízes. Usarei divisão sintética (método prático para dividir por (x-r)).
Colocando os coeficientes do polinômio: 1,\\\ 3,\\\ -2,\\\ -2. Aplicando divisão sintética com r=1:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 3 & -2 & -2\\hline & & 1 & 4 & \\\ 2\\\ \end{array}
Explicando a tabela passo a passo:
  • Baixa o 1 (coeficiente do x^3).
  • Multiplica esse 1 por r=1, obtém 1, soma com o próximo coeficiente 3 dando 4.
  • Multiplica 4 por 1, obtém 4, soma com -2 dando 2.
  • Multiplica 2 por 1, obtém 2, soma com -2 dando 0 (resto).
O resto é 0 (esperado), e o quociente tem coeficientes 1,\\\ 4,\\\ 2, ou seja o quociente é o polinômio
x^{2}+4x+2.

Passo 5

Agora precisamos resolver a equação quadrática
x^{2}+4x+2=0.
Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma quadrática geral \;ax^{2}+bx+c=0\;, as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde:
  • a é o coeficiente de x^{2},
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo constante,
  • b^{2}-4ac é o discriminante (diz se as raízes são reais, iguais ou complexas).
Aqui a=1, b=4, c=2. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot1\cdot2=16-8=8.
Como \Delta=8>0, as duas raízes são reais e distintas. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2}.
Simplificando \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}, temos
x=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}=-2\pm\sqrt{2}.

Passo 6

Juntando tudo: o valor encontrado para k foi \;k=-2, e as três raízes do polinômio (contando a que foi dada) são
1,\qquad -2+\sqrt{2},\qquad -2-\sqrt{2}.
Também podemos escrever a factorização completa do polinômio como
x^{3}+3x^{2}-2x-2=(x-1)\bigl(x^{2}+4x+2\bigr)=(x-1)\bigl(x-(-2+\sqrt{2})\bigr)\bigl(x-(-2-\sqrt{2})\bigr).

Resposta

k=-2
As raízes são 1,\\\ -2+\sqrt{2},\\\ -2-\sqrt{2}

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