Um polinômio de grau 3 , na forma
, tem uma das raízes igual a 1 . Determine o valor de
e as demais raízes.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e afirma que uma das raízes é
. As perguntas são:
- Determinar o valor de
. - Determinar as demais raízes do polinômio.
Informações relevantes dadas:
- O polinômio é de grau
, logo tem exatamente três raízes (contando multiplicidade). - Sabemos explicitamente que uma raiz é
.
Passo 2
Ideia básica (Teorema do Resto / Teorema das Raízes): se
é raiz do polinômio
, então
. Aqui podemos aplicar isso com
para encontrar
. Substituindo
no polinômio:
Agora calculamos os termos:
logo
Passo 3
Continuando a conta do passo anterior:
Portanto
Conclusão intermediária:
.
Passo 4
Agora reescrevemos o polinômio com
:
Como
é raiz, pelo Teorema do Resto
é fator do polinômio. Vamos dividir o polinômio por
para obter um polinômio quadrático (quociente) cujas raízes serão as outras duas raízes. Usarei divisão sintética (método prático para dividir por
).
Colocando os coeficientes do polinômio:
. Aplicando divisão sintética com
:
Explicando a tabela passo a passo:
- Baixa o
(coeficiente do ). - Multiplica esse
por , obtém , soma com o próximo coeficiente dando . - Multiplica
por , obtém , soma com dando . - Multiplica
por , obtém , soma com dando (resto).
O resto é
(esperado), e o quociente tem coeficientes
, ou seja o quociente é o polinômio
Passo 5
Agora precisamos resolver a equação quadrática
Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara). Para uma quadrática geral
, as raízes são dadas por
onde:
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de , -
é o termo constante, -
é o discriminante (diz se as raízes são reais, iguais ou complexas).
Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Como
, as duas raízes são reais e distintas. Aplicando a fórmula:
Simplificando
, temos
Passo 6
Juntando tudo: o valor encontrado para
foi
, e as três raízes do polinômio (contando a que foi dada) são
Também podemos escrever a factorização completa do polinômio como
Resposta
As raízes são