A partir das equações horárias do lançamento parabólico, a partir da origem em
, com velocidade inicial
e um ângulo de lançamento
:
a) Mostre que podemos obter a equação de uma parábola, com concavidade para baixo (
), na forma
b) Calcule as raízes desta equação. Qual o significado de cada raiz?
c) Determine a altura máxima da trajetória, calculando as coordenadas do vértice da parábola.
b) Calcule as raízes desta equação. Qual o significado de cada raiz?
c) Determine a altura máxima da trajetória, calculando as coordenadas do vértice da parábola.
Passo 1
O enunciado dá as equações horárias do lançamento partindo da origem (
) com velocidade inicial
e ângulo
:
As perguntas são:
- (a) mostrar que a trajetória é uma parábola da forma
e identificar e (com ); - (b) calcular as raízes dessa equação e explicar o significado físico de cada raiz;
- (c) determinar a altura máxima da trajetória, isto é, as coordenadas do vértice da parábola.
Informações relevantes dadas:
-
é a velocidade inicial (módulo). -
é o ângulo de lançamento medido em relação ao eixo horizontal. -
é a aceleração da gravidade (positiva em valor; a componente vertical da aceleração é ). - As equações paramétricas relacionam
e com o tempo .
Passo 2
Eliminação do tempo
para obter
em função de
.
Primeiro isolamos
na equação da componente horizontal
:
Agora substituímos esse
na equação de
. Substituindo passo a passo:
Simplificando o primeiro termo:
cancela e
. Logo o primeiro termo vira
.
No segundo termo:
. Assim
Reescrevendo na forma padrão
, obtemos:
Explicando os símbolos usados:
-
. -
significa .
Portanto:
Note que
e o sinal menos faz
, o que significa concavidade para baixo (a parábola abre para baixo).
Passo 3
Cálculo das raízes da parábola
.
Colocando
:
Fatorando
:
Logo as raízes são:
e
Vamos calcular
substituindo
e
:
Usando
e a identidade
, obtemos
Significado físico das raízes:
-
corresponde ao ponto de lançamento (origem) — é quando . -
é o alcance horizontal : o ponto onde o projétil retorna ao mesmo nível do lançamento (chuva de chão), ou seja, o instante de pouso em que novamente.
Passo 4
Coordenada
do vértice (abscissa do ponto de altura máxima).
Para uma parábola
com termo constante zero, a abscissa do vértice é
Substituindo
e
:
Calculemos o denominador:
. Assim
Usando
, isso pode ser escrito como
Observação física:
é exatamente a metade do alcance
, o que faz sentido porque a trajetória é simétrica no tempo em torno do instante de altura máxima.
Também pode-se obter
a partir do tempo de subida até a velocidade vertical nula:
e
, que dá o mesmo resultado:
Passo 5
Coordenada
do vértice (altura máxima).
Uma maneira é usar
. Outra maneira mais direta para parábola com
é
Usando
e
:
Calculemos passo a passo:
. Então
Como
, obtemos
Verificação física via energia cinemática/velocidade vertical: a velocidade vertical inicial é
; a altura máxima quando a componente vertical da velocidade zera é
que coincide com
.
Portanto a altura máxima da trajetória é
.
Passo 6
Resumo interpretativo e observações finais (motivação para memorização rápida na prova).
- A forma canônica da trajetória é
. Isso mostra claramente a parábola com concavidade para baixo porque o coeficiente quadrático é negativo. - As raízes são
(lançamento) e (alcance). - O vértice está em
ou seja, o máximo horizontal é a metade do alcance e a altura máxima é
.
Dica prática para prova: memorize as formas
Elas aparecem sempre que o lançamento e o pouso estão no mesmo nível.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)