A partir das equações horárias do lançamento parabólico, a partir da origem em x_{o}=y_{o}=0, com velocidade inicial v_{\mathrm{o}} e um ângulo de lançamento \theta :
y=\left[v_{o} \operatorname{sen}(\theta)\right] t-\frac{g}{2} t^{2} \quad \text { e } \quad x=\left[v_{o} \cos (\theta)\right] t
a) Mostre que podemos obter a equação de uma parábola, com concavidade para baixo ( a<0 ), na forma y=a x^{2}+b x \rightarrow a=-\frac{g}{2 v_{o}^{2} \cos ^{2}(\theta)}, \quad b=\tan (\theta)
b) Calcule as raízes desta equação. Qual o significado de cada raiz?
c) Determine a altura máxima da trajetória, calculando as coordenadas do vértice da parábola.

Passo 1

O enunciado dá as equações horárias do lançamento partindo da origem ( x_{0}=y_{0}=0) com velocidade inicial v_{\mathrm{o}} e ângulo \theta:
y=\left[v_{o}\operatorname{sen}(\theta)\right] t-\frac{g}{2} t^{2}
x=\left[v_{o}\cos(\theta)\right] t
As perguntas são:
  • (a) mostrar que a trajetória é uma parábola da forma y=a x^{2}+b x e identificar a e b (com a<0);
  • (b) calcular as raízes dessa equação e explicar o significado físico de cada raiz;
  • (c) determinar a altura máxima da trajetória, isto é, as coordenadas do vértice da parábola.
Informações relevantes dadas:
  • v_{o} é a velocidade inicial (módulo).
  • \theta é o ângulo de lançamento medido em relação ao eixo horizontal.
  • g é a aceleração da gravidade (positiva em valor; a componente vertical da aceleração é -g).
  • As equações paramétricas relacionam x e y com o tempo t.

Passo 2

Eliminação do tempo t para obter y em função de x.
Primeiro isolamos t na equação da componente horizontal x:
t=\frac{x}{v_{o}\cos(\theta)}.
Agora substituímos esse t na equação de y. Substituindo passo a passo:
y = v_{o}\operatorname{sen}(\theta)\left(\frac{x}{v_{o}\cos(\theta)}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{x}{v_{o}\cos(\theta)}\right)^{2}.
Simplificando o primeiro termo: v_{o} cancela e \dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}=\tan(\theta). Logo o primeiro termo vira x\tan(\theta).
No segundo termo: \left(\dfrac{x}{v_{o}\cos(\theta)}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}}{v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}. Assim
y = x\tan(\theta) - \frac{g}{2}\cdot\frac{x^{2}}{v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}.
Reescrevendo na forma padrão y=a x^{2}+b x, obtemos:
y = \left(-\frac{g}{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}\right) x^{2} + \left(\tan(\theta)\right) x.
Explicando os símbolos usados:
  • \tan(\theta)=\dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}.
  • \cos^{2}(\theta) significa (\cos(\theta))^{2}.
Portanto:
a = -\frac{g}{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)},\qquad b=\tan(\theta).
Note que g>0 e o sinal menos faz a<0, o que significa concavidade para baixo (a parábola abre para baixo).

Passo 3

Cálculo das raízes da parábola y=a x^{2}+b x.
Colocando y=0:
a x^{2} + b x = 0.
Fatorando x:
x\,(a x + b)=0.
Logo as raízes são:
x_{1}=0
e
a x_{2} + b = 0 \;\Rightarrow\; x_{2} = -\frac{b}{a}.
Vamos calcular x_{2} substituindo a e b:
x_{2} = -\frac{\tan(\theta)}{-\dfrac{g}{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}} = \frac{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)\tan(\theta)}{g}.
Usando \tan(\theta)\cos^{2}(\theta)=\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta) e a identidade \operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta), obtemos
x_{2} = \frac{2v_{o}^{2}\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)}{g} = \frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g}.
Significado físico das raízes:
  • x_{1}=0 corresponde ao ponto de lançamento (origem) — é quando t=0.
  • x_{2}=\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g} é o alcance horizontal R: o ponto onde o projétil retorna ao mesmo nível do lançamento (chuva de chão), ou seja, o instante de pouso em que y=0 novamente.

Passo 4

Coordenada x do vértice (abscissa do ponto de altura máxima).
Para uma parábola y=a x^{2}+b x com termo constante zero, a abscissa do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a e b:
x_{v} = -\frac{\tan(\theta)}{2\left(-\dfrac{g}{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}\right)}.
Calculemos o denominador: 2a = -\dfrac{g}{v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}. Assim
x_{v} = \frac{\tan(\theta)}{\dfrac{g}{v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}} = \frac{v_{o}^{2}\tan(\theta)\cos^{2}(\theta)}{g} = \frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)}{g}.
Usando \operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta), isso pode ser escrito como
x_{v} = \frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{2g}.
Observação física: x_{v} é exatamente a metade do alcance x_{2}, o que faz sentido porque a trajetória é simétrica no tempo em torno do instante de altura máxima.
Também pode-se obter x_{v} a partir do tempo de subida até a velocidade vertical nula: t_{v}=\dfrac{v_{o}\operatorname{sen}(\theta)}{g} e x_{v}=v_{o}\cos(\theta)\,t_{v}, que dá o mesmo resultado:
x_{v}=v_{o}\cos(\theta)\cdot\frac{v_{o}\operatorname{sen}(\theta)}{g}=\frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta)}{g}.

Passo 5

Coordenada y do vértice (altura máxima).
Uma maneira é usar y_{v}=a x_{v}^{2}+b x_{v}. Outra maneira mais direta para parábola com c=0 é
y_{v} = -\frac{b^{2}}{4a}.
Usando a e b:
y_{v} = -\frac{\tan^{2}(\theta)}{4\left(-\dfrac{g}{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}\right)}.
Calculemos passo a passo: 4a = -\dfrac{2g}{v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}. Então
y_{v} = \tan^{2}(\theta)\cdot\frac{v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}{2g}.
Como \tan^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)=\operatorname{sen}^{2}(\theta), obtemos
y_{v} = \frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{2g}.
Verificação física via energia cinemática/velocidade vertical: a velocidade vertical inicial é v_{o}\operatorname{sen}(\theta); a altura máxima quando a componente vertical da velocidade zera é
H=\frac{(v_{o}\operatorname{sen}(\theta))^{2}}{2g}=\frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{2g},
que coincide com y_{v}.
Portanto a altura máxima da trajetória é y_{v}=\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{2g}.

Passo 6

Resumo interpretativo e observações finais (motivação para memorização rápida na prova).
  • A forma canônica da trajetória é y = -\dfrac{g}{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)}\,x^{2} + \tan(\theta)\,x. Isso mostra claramente a parábola com concavidade para baixo porque o coeficiente quadrático é negativo.
  • As raízes são x=0 (lançamento) e x=\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g} (alcance).
  • O vértice está em
\left(x_{v},y_{v}\right)=\left(\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{2g},\;\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{2g}\right),
ou seja, o máximo horizontal é a metade do alcance e a altura máxima é \dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{2g}.
Dica prática para prova: memorize as formas
R=\frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g},\qquad H=\frac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{2g},\qquad x_{v}=\frac{R}{2}.
Elas aparecem sempre que o lançamento e o pouso estão no mesmo nível.

Resposta

a) a=-\dfrac{g}{2v_{o}^{2}\cos^{2}(\theta)},\quad b=\tan(\theta)
b) x_{1}=0,\quad x_{2}=\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g}
c) \left(x_{v},y_{v}\right)=\left(\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{2g},\;\dfrac{v_{o}^{2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{2g}\right)

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