Mostre que y^{\log _{y} x} é igual a x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão \,y^{\log_{y} x}\, é igual a \,x.\n
Informações e condições que o enunciado supõe (essenciais para que o logaritmo esteja bem definido):
  • x>0.
  • y>0 e y\neq1.
    Nenhuma outra informação foi fornecida; a tarefa é provar a igualdade para quaisquer x e y que satisfaçam essas condições.

Passo 2

Lembrar a definição básica de logaritmo (a peça chave).
  • Por definição, \log_{y} x é o número (vamos chamá-lo de t) tal que
y^{t}=x.
Aqui t=\log_{y} x. Ou seja, o logaritmo \log_{y} x responde à pergunta: “a que potência eu elevo y para obter x?”

Passo 3

Aplicar diretamente a definição para a expressão pedida.
  • Seja \,t=\log_{y} x\,. Pela definição do passo anterior, vale
y^{t}=x.
  • Substituindo t por \log_{y} x obtemos
y^{\log_{y} x}=x.
Pronto: a igualdade é imediata pela definição do logaritmo como expoente que transforma y em x.

Passo 4

Dar uma outra forma de ver (útil para fixar a ideia): usar logaritmo natural e a fórmula de mudança de base.
  • A fórmula de mudança de base diz que
\log_{y} x=\frac{\ln x}{\ln y},
onde \ln é o logaritmo natural. Essa fórmula vem de tomar \ln em ambos os lados de y^{t}=x: \ln(y^{t})=t\ln y=\ln x, daí t=\dfrac{\ln x}{\ln y}.
  • Usando a identidade a^{b}=e^{b\ln a}, temos
y^{\log_{y} x}=y^{\frac{\ln x}{\ln y}}=e^{\frac{\ln x}{\ln y}\cdot\ln y}=e^{\ln x}=x.
Essa rota alternativa confirma o resultado do passo anterior e mostra de forma algébrica por que a exponenciação e o logaritmo são operações inversas.

Passo 5

Comentário didático e exemplo numérico rápido (para fixar).
  • Interpretação: a função f(t)=y^{t} e a função g(u)=\log_{y} u são inversas; compor f com g dá a identidade: f(g(x))=x.
  • Exemplo: tome y=2 e x=8. Então \log_{2}8=3 e 2^{\log_{2}8}=2^{3}=8. Funciona exatamente assim para qualquer x>0 e y>0,\;y\neq1.

Resposta

x

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