Mostre que
é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a expressão
é igual a
.\n
Informações e condições que o enunciado supõe (essenciais para que o logaritmo esteja bem definido):
Informações e condições que o enunciado supõe (essenciais para que o logaritmo esteja bem definido):
-
. -
e .
Nenhuma outra informação foi fornecida; a tarefa é provar a igualdade para quaisquere que satisfaçam essas condições.
Passo 2
Lembrar a definição básica de logaritmo (a peça chave).
- Por definição,
é o número (vamos chamá-lo de ) tal que
Aqui
. Ou seja, o logaritmo
responde à pergunta: “a que potência eu elevo
para obter
?”
Passo 3
Aplicar diretamente a definição para a expressão pedida.
- Seja
. Pela definição do passo anterior, vale
- Substituindo
por obtemos
Pronto: a igualdade é imediata pela definição do logaritmo como expoente que transforma
em
.
Passo 4
Dar uma outra forma de ver (útil para fixar a ideia): usar logaritmo natural e a fórmula de mudança de base.
- A fórmula de mudança de base diz que
onde
é o logaritmo natural. Essa fórmula vem de tomar
em ambos os lados de
:
, daí
.
- Usando a identidade
, temos
Essa rota alternativa confirma o resultado do passo anterior e mostra de forma algébrica por que a exponenciação e o logaritmo são operações inversas.
Passo 5
Comentário didático e exemplo numérico rápido (para fixar).
- Interpretação: a função
e a função são inversas; compor com dá a identidade: . - Exemplo: tome
e . Então e . Funciona exatamente assim para qualquer e .