Quais os polos e zeros de cada um dos sistemas? Obs.: Se possível calcule manualmente e compare com os resultados do Octave.
Considere as seguintes funções de transferência para as Questões 3, 4 e 5.
a) 2 s-1s^2-5 s+6
b) s+3s^2+2 s
c) (s+1)(s+3)(s+2)(s+2)(s-2)
d) 4s^2+2 s+3
e) s^2+2 s+1.25s^3+s^2-4 s-4
f) 10s^2+2 s-2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar polos e zeros de seis funções de transferência (itens a até f). Isso é conteúdo de Análise de Sistemas Lineares no domínio de Laplace: pra resolver a gente vai precisar entender que zeros são as raízes do numerador e polos são as raízes do denominador. Também vamos usar fatoração de polinômios e, quando necessário, a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Teoria básica:
  • Zero de uma FT G(s)=dfracN(s)D(s) é qualquer valor de s que faz N(s)=0.
  • Polo é qualquer valor de s que faz D(s)=0.
    Em outras palavras, zeros cancelam a saída (logo no numerador) e polos fazem o sistema “explodir” no denominador.

Passo 3

Estratégia de “mão na massa”:
  1. Igualamos o numerador a zero e resolvemos para s → zeros.
  2. Igualamos o denominador a zero e resolvemos para s → polos.
  3. Se o polinômio for quadrático usamos Bhaskara, se for fatorável por agrupamento fatoramos.

Passo 4

Ga(s)=2s-1s^2-5s+6
Numerador: 2s-1=0;Rightarrow;s=tfrac12 → zero em s=0,5.
Denominador: s^2-5s+6=(s-2)(s-3) → polos em s=2 e s=3.

Passo 5

Gb(s)=s+3s^2+2s=s+3s(s+2)
Numerador: s+3=0;Rightarrow;s=-3 → zero em s=-3.
Denominador: s=0 e s+2=0;Rightarrow;s=-2 → polos em s=0 e s=-2.

Passo 6

Gc(s)=(s+1)(s+3)(s+2)(s+2)(s-2)
Numerador: zeros em s=-1 e s=-3.
Denominador: polos em s=-2 (multiplicidade 2) e s=2.

Passo 7

Gd(s)=4s^2+2s+3
Numerador: constante → nenhum zero finito (zero no infinito).
Denominador: usar Bhaskara em s^2+2s+3=0:
s=-2pmraiz4-122=-1pm jraiz2
→ polos complexos conjugados em s=-1pm jraiz2.

Passo 8

Ge(s)=s^2+2s+1.25s^3+s^2-4s-4
Numerador: s^2+2s+1.25=0;Rightarrow;s=-2pmraiz4-52=-1pm j,0.5 → zeros complexos.
Denominador: fatorando por agrupamento,
s^3+s^2-4s-4=(s^2)(s+1)-4(s+1)=(s+1)(s^2-4)=(s+1)(s-2)(s+2)
→ polos em s=-1,;s=2,;s=-2.

Passo 9

Gf(s)=10s^2+2s-2
Numerador: constante → nenhum zero finito.
Denominador: Bhaskara em s^2+2s-2=0:
s=-2pmraiz4+82=-1pmraiz3
→ polos em s=-1+raiz3 e s=-1-raiz3.

Resposta

a) zeros: s=0.5; polos: s=2,3
b) zeros: s=-3; polos: s=0,-2
c) zeros: s=-1,-3; polos: s=-2(duplo), 2
d) zeros: nenhum finito; polos: s=-1pm jraiz2
e) zeros: s=-1pm j0.5; polos: s=-1,2,-2
f) zeros: nenhum finito; polos: s=-1pmraiz3
Todos conferidos manualmente e iguais aos resultados do Octave.

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