Uma viga de madeira ABC simplesmente apoiada em A e em B e com um segmento em balanço BC tem altura
. O comprimento do vão principal da viga é
m e o comprimento do balanço é L/3. A viga suporta uma carga concentrada de 3P=15 kN no ponto médio do vão principal e uma carga
na extremidade livre do balanço. A viga tem peso específico
.
determinar a largura b da viga, exigida com base na tensão normal admissível de
.
determinar a largura b da viga, exigida com base na tensão normal admissível de
Passo 1
O enunciado dá uma viga de comprimento total (vão + balanço) com as seguintes informações (peguei a altura
da figura enviada):
- vão principal entre os apoios
e : . - balanço
: . - carga concentrada no ponto médio do vão principal:
(logo ). - carga concentrada na extremidade livre do balanço
: . - peso específico da madeira:
. - altura da seção retangular:
(da figura). - tensão normal admissível por flexão (tensão admissível):
.
O que se pede: determinar a largura
da seção retangular (em mm) necessária para que a tensão de flexão máxima não ultrapasse
.
Passo 2
Primeiro eu monto o carregamento equivalente do peso próprio como carga distribuída uniforme ao longo de todo o comprimento total
.
A intensidade do carregamento linear
(em
) é
onde
e
são
e
em metros. Convertendo
em mm (
em mm =
), temos
e
. Então
onde
está em
. Vou manter
expresso em função de
.
Passo 3
Calculo as reações verticais nos apoios
e
por equilíbrio estático (soma de forças verticais e somatório de momentos em
).
Soma de forças verticais:
Momento em
(tomando momentos positivos no sentido anti-horário):
- a carga
está no meio do vão em , - a carga
está em , - o carregamento uniforme
tem resultant atuando em .
Somatório dos momentos em
:
Substituindo numéricos
,
,
,
:
Calculo os termos conhecidos:
Logo
E então
Agora substituo
(com
em mm) para expressar
e
em função de
:
Passo 4
Determino onde ocorre o momento máximo. A função de corte (força cortante) no trecho
(antes de
) é
Se
passar por zero antes de
haverá um extremo interno aí; caso contrário, ao cruzar o ponto de carga
a força cortante sofre salto de
e pode ficar negativa, indicando que o máximo do momento pode ocorrer exatamente na posição da carga
. Vamos verificar sinais qualitativamente: para valores práticos de
(ordem de 100 mm),
fica da ordem de
e
é pequeno, daí
é menore que
, então à direita da carga o corte é negativo. Portanto o momento é crescente até o ponto da carga e decresce depois — o momento máximo ocorre em
(no ponto onde atuam
). Assim vou calcular
nesse ponto.
Passo 5
Momento no ponto médio
(usar o lado esquerdo):
Substituo
e
:
Faço as contas passo a passo:
Assim
Vou precisar de
em
para usar com a seção em mm:
Passo 6
Agora uso a fórmula da tensão de flexão (tensão normal por flexão simples) para seção retangular. Lembrando:
- Momento de inércia de uma placa retangular em relação ao eixo neutro (centro):
(com e em mm dá em mm^4). - a distância da fibra mais afastada ao neutro:
. - o módulo de seção (section modulus):
.
Para
:
A tensão de flexão máxima é
Substituindo
e
:
Faço a simplificação numérica:
(aprox.). Então
Distribuindo:
onde
está em mm e usei que
.
Passo 7
Agora imponho a condição de segurança
:
Isolo
:
Como
deve ser um valor comercial prático e devemos arredondar para cima, tomo
.
Passo 8
Verificação rápida: com
o carregamento linear
é pequeno e a aproximação que levou ao máximo em
permanece válida; a tensão calculada fica levemente abaixo de
, portanto
é suficiente.