Uma viga de madeira ABC simplesmente apoiada em A e em B e com um segmento em balanço BC tem altura \mathrm{h}=280 \mathrm{~mm}. O comprimento do vão principal da viga é \mathrm{L}=3,6 m e o comprimento do balanço é L/3. A viga suporta uma carga concentrada de 3P=15 kN no ponto médio do vão principal e uma carga \mathrm{P}=5 \mathrm{kN} na extremidade livre do balanço. A viga tem peso específico \gamma=5,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
determinar a largura b da viga, exigida com base na tensão normal admissível de 8,2 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá uma viga de comprimento total (vão + balanço) com as seguintes informações (peguei a altura h=280\\ \mathrm{mm} da figura enviada):
  • vão principal entre os apoios A e B: \;L=3{,}6\\ \mathrm{m}.
  • balanço B\!C: \;L/3=1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • carga concentrada no ponto médio do vão principal: \;3P=15\\ \mathrm{kN} (logo P=5\\ \mathrm{kN}).
  • carga concentrada na extremidade livre do balanço C: \;P=5\\ \mathrm{kN}.
  • peso específico da madeira: \;\gamma=5{,}5\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • altura da seção retangular: \;h=280\\ \mathrm{mm} (da figura).
  • tensão normal admissível por flexão (tensão admissível): \;\sigma_{adm}=8{,}2\\ \mathrm{MPa}.
O que se pede: determinar a largura b da seção retangular (em mm) necessária para que a tensão de flexão máxima não ultrapasse \sigma_{adm}.

Passo 2

Primeiro eu monto o carregamento equivalente do peso próprio como carga distribuída uniforme ao longo de todo o comprimento total \ell = L + L/3 = 3{,}6 + 1{,}2 = 4{,}8\\ \mathrm{m}.
A intensidade do carregamento linear w (em \mathrm{kN/m}) é
w = \gamma \cdot (b_{\mathrm{m}})\cdot h_{\mathrm{m}},
onde b_{\mathrm{m}} e h_{\mathrm{m}} são b e h em metros. Convertendo b em mm ( b em mm = b), temos b_{\mathrm{m}}=b/1000 e h_{\mathrm{m}}=0{,}28\\ \mathrm{m}. Então
w = 5{,}5\cdot\frac{b}{1000}\cdot0{,}28 = 0{,}00154\,b\quad(\mathrm{kN/m}),
onde b está em \mathrm{mm}. Vou manter w expresso em função de b.

Passo 3

Calculo as reações verticais nos apoios A e B por equilíbrio estático (soma de forças verticais e somatório de momentos em A).
Soma de forças verticais:
A_y + B_y - 3P - P - w\ell = 0 \quad\Rightarrow\quad A_y + B_y = 4P + w\ell.
Momento em A (tomando momentos positivos no sentido anti-horário):
  • a carga 3P está no meio do vão em x=L/2=1{,}8\\ \mathrm{m},
  • a carga P está em x=\ell=4{,}8\\ \mathrm{m},
  • o carregamento uniforme w tem resultant w\ell atuando em x=\ell/2=2{,}4\\ \mathrm{m}.
Somatório dos momentos em A:
B_y\cdot L - 3P\cdot\frac{L}{2} - P\cdot\ell - w\ell\cdot\frac{\ell}{2} = 0.
Substituindo numéricos L=3{,}6, 3P=15, P=5, \ell=4{,}8:
B_y\cdot 3{,}6 - 15\cdot1{,}8 - 5\cdot4{,}8 - w\cdot4{,}8\cdot2{,}4 = 0.
Calculo os termos conhecidos:
15\cdot1{,}8 = 27\quad,\quad 5\cdot4{,}8 = 24\quad,\quad 4{,}8\cdot2{,}4=11{,}52.
Logo
B_y\cdot 3{,}6 = 27 + 24 + 11{,}52\,w = 51 + 11{,}52\,w,
\Rightarrow\quad B_y = \frac{51 + 11{,}52\,w}{3{,}6} = 14{,}1667 + 3{,}2\,w\quad(\mathrm{kN}).
E então
A_y = 4P + w\ell - B_y = 20 + 4{,}8\,w - \bigl(14{,}1667 + 3{,}2\,w\bigr) = 5{,}8333 + 1{,}6\,w\quad(\mathrm{kN}).
Agora substituo w=0{,}00154\,b (com b em mm) para expressar A_y e B_y em função de b:
B_y = 14{,}1667 + 3{,}2\cdot0{,}00154\,b = 14{,}1667 + 0{,}004928\,b\quad(\mathrm{kN}),
A_y = 5{,}8333 + 1{,}6\cdot0{,}00154\,b = 5{,}8333 + 0{,}002464\,b\quad(\mathrm{kN}).

Passo 4

Determino onde ocorre o momento máximo. A função de corte (força cortante) no trecho 0\le x\le L/2 (antes de 3P) é
V(x)=A_y - w x.
Se V passar por zero antes de x=1{,}8\\ \mathrm{m} haverá um extremo interno aí; caso contrário, ao cruzar o ponto de carga 3P a força cortante sofre salto de -15\\ \mathrm{kN} e pode ficar negativa, indicando que o máximo do momento pode ocorrer exatamente na posição da carga 3P. Vamos verificar sinais qualitativamente: para valores práticos de b (ordem de 100 mm), A_y fica da ordem de 6\\ \mathrm{kN} e w é pequeno, daí V(1{,}8)=A_y-w\cdot1{,}8 é menore que 15\\ \mathrm{kN}, então à direita da carga o corte é negativo. Portanto o momento é crescente até o ponto da carga e decresce depois — o momento máximo ocorre em x=L/2=1{,}8\\ \mathrm{m} (no ponto onde atuam 3P). Assim vou calcular M_{max} nesse ponto.

Passo 5

Momento no ponto médio x=1{,}8\\ \mathrm{m} (usar o lado esquerdo):
M_{max} = A_y\cdot 1{,}8 - \frac{w\cdot(1{,}8)^2}{2}.
Substituo A_y=5{,}8333 + 0{,}002464\,b e w=0{,}00154\,b:
M_{max} = 1{,}8\bigl(5{,}8333 + 0{,}002464\,b\bigr) - \frac{0{,}00154\,b\cdot 1{,}8^2}{2}.
Faço as contas passo a passo:
1{,}8\cdot5{,}8333 = 10{,}5,
1{,}8\cdot0{,}002464\,b = 0{,}0044352\,b,
\frac{0{,}00154\cdot 1{,}8^2}{2}\,b = \frac{0{,}00154\cdot3{,}24}{2}\,b = 0{,}0024948\,b.
Assim
M_{max} = 10{,}5 + (0{,}0044352 - 0{,}0024948)\,b = 10{,}5 + 0{,}0019404\,b\quad(\mathrm{kN\cdot m}).
Vou precisar de M_{max} em \mathrm{N\cdot mm} para usar com a seção em mm:
M_{max}\;[\mathrm{N\cdot mm}] = \bigl(10{,}5 + 0{,}0019404\,b\bigr)\cdot 10^6.

Passo 6

Agora uso a fórmula da tensão de flexão (tensão normal por flexão simples) para seção retangular. Lembrando:
  • Momento de inércia de uma placa retangular em relação ao eixo neutro (centro): \;I=\dfrac{b\,h^3}{12} (com b e h em mm dá I em mm^4).
  • a distância da fibra mais afastada ao neutro: \;c = h/2.
  • o módulo de seção (section modulus): \;S=\dfrac{I}{c}=\dfrac{b\,h^2}{6}.
Para h=280\\ \mathrm{mm}:
h^2 = 280^2 = 78\,400\quad\Rightarrow\quad S = \frac{b\cdot78\,400}{6} = 13\,066{,}6667\,b\quad(\mathrm{mm^3}).
A tensão de flexão máxima é
\sigma = \frac{M_{max}\;[\mathrm{N\cdot mm}]}{S\;[\mathrm{mm^3}]}.
Substituindo M_{max} e S:
\sigma = \frac{\bigl(10{,}5 + 0{,}0019404\,b\bigr)\cdot10^6}{13\,066{,}6667\,b}\quad(\mathrm{N/mm^2}).
Faço a simplificação numérica: 10^6/13\,066{,}6667 = 76{,}5 (aprox.). Então
\sigma = 76{,}5\cdot\frac{10{,}5 + 0{,}0019404\,b}{b} = 76{,}5\!\left(\frac{10{,}5}{b} + 0{,}0019404\right).
Distribuindo:
\sigma = \frac{803{,}25}{b} + 0{,}1485\quad(\mathrm{MPa}),
onde b está em mm e usei que 1\\ \mathrm{N/mm^2}=1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Agora imponho a condição de segurança \sigma \le \sigma_{adm}=8{,}2\\ \mathrm{MPa}:
\frac{803{,}25}{b} + 0{,}1485 \le 8{,}2.
Isolo b:
\frac{803{,}25}{b} \le 8{,}2 - 0{,}1485 = 8{,}0515,
b \ge \frac{803{,}25}{8{,}0515} = 99{,}76\\ \mathrm{mm}.
Como b deve ser um valor comercial prático e devemos arredondar para cima, tomo b=100\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Verificação rápida: com b=100\\ \mathrm{mm} o carregamento linear w=0{,}00154\cdot100=0{,}154\\ \mathrm{kN/m} é pequeno e a aproximação que levou ao máximo em x=1{,}8\\ \mathrm{m} permanece válida; a tensão calculada fica levemente abaixo de 8{,}2\\ \mathrm{MPa}, portanto b=100\\ \mathrm{mm} é suficiente.

Resposta

b = 100\\ \mathrm{mm}

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