(1 ponto) Admita que y é definido implicitamente como função de
Então, o valor de
é:
(a) 0
(b)
(c)
(d)
(e)
(a) 0
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede o valor de
no ponto
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função
está definida implicitamente por . - O ponto onde se quer a derivada é
. - Objetivo: calcular
em .
Passo 2
Vamos diferenciar implicitamente a equação em relação a
. Antes disso, relembre duas regras essenciais:
- Regra da cadeia: se
é função de , então . Aqui . - Regra do produto: se
e são funções, então .
Agora aplique essas regras à equação
.
Derivada do lado esquerdo:
E
. Logo
Derivada do lado direito usando produto:
Passo 3
Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação para
:
Agora isolamos os termos que contêm
. Primeiro expandir:
Colocando todos os termos com
num lado e os restantes no outro:
Fatorando
do lado esquerdo:
Finalmente, desde que o fator multiplicador não seja zero, temos a fórmula geral
Essa é a expressão que se usa para avaliar a derivada em pontos da curva definida implicitamente.
Passo 4
Antes de substituir o ponto
na fórmula, é fundamental verificar se
realmente pertence à curva original, porque a derivada implícita só faz sentido em pontos da curva.
Substituindo
na equação original:
enquanto o lado direito é
Como
, a igualdade
NÃO é satisfeita em
. Portanto o ponto
não pertence à curva definida por aquela relação.
Passo 5
Consequência lógica: a derivada
no ponto
não está definida, porque o ponto não está na curva. Ou seja, não faz sentido falar na derivada da função implícita naquele par
.
Observação pedagógica (armadilha comum): se alguém aplicasse a fórmula obtida em \
Passo 6
logo
, que corresponde à alternativa (d). Porém esse valor é inválido aqui porque a etapa essencial (o ponto pertencer à curva) não foi verificada — e, como vimos,
não satisfaz a equação inicial. Portanto esse resultado numérico não representa a derivada da função implícita em nenhum ponto da curva.
Resposta
O ponto
não pertence à curva
; portanto
em
não está definida.