(1 ponto) Admita que y é definido implicitamente como função de x
\operatorname{sen}(x y)=x^{2} y .
Então, o valor de \frac{d y}{d x} \mathrm{em}(1, \pi) é:
(a) 0
(b) -\pi
(c) \pi
(d) -\frac{3 \pi}{2}
(e) \frac{3 \pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\operatorname{sen}(x y)=x^{2} y,
e pede o valor de \dfrac{dy}{dx} no ponto (1,\pi).
Informações relevantes:
  • A função y está definida implicitamente por \operatorname{sen}(x y)=x^{2} y.
  • O ponto onde se quer a derivada é (x,y)=(1,\pi).
  • Objetivo: calcular \dfrac{dy}{dx} em (1,\pi).

Passo 2

Vamos diferenciar implicitamente a equação em relação a x. Antes disso, relembre duas regras essenciais:
  • Regra da cadeia: se u(x) é função de x, então \dfrac{d}{dx}\big(\sin(u)\big)=\cos(u)\cdot u'. Aqui u(x)=x y(x).
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então \dfrac{d}{dx}\big(u v\big)=u'v+u v'.
Agora aplique essas regras à equação \sin(xy)=x^{2}y.
Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big(\sin(xy)\big)=\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}(x y).
E \dfrac{d}{dx}(x y)=1\cdot y + x\cdot \dfrac{dy}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}. Logo
\frac{d}{dx}\big(\sin(xy)\big)=\cos(xy)\big(y+x\frac{dy}{dx}\big).
Derivada do lado direito usando produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\cdot y + x^{2}\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação para \dfrac{dy}{dx}:
\cos(xy)\big(y+x\frac{dy}{dx}\big)=2x y + x^{2}\frac{dy}{dx}.
Agora isolamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx}. Primeiro expandir:
\cos(xy)\,y + \cos(xy)\,x\frac{dy}{dx}=2x y + x^{2}\frac{dy}{dx}.
Colocando todos os termos com \dfrac{dy}{dx} num lado e os restantes no outro:
\cos(xy)\,x\frac{dy}{dx} - x^{2}\frac{dy}{dx} = 2x y - \cos(xy)\,y.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} do lado esquerdo:
\frac{dy}{dx}\big(x\cos(xy)-x^{2}\big)=y\big(2x-\cos(xy)\big).
Finalmente, desde que o fator multiplicador não seja zero, temos a fórmula geral
\boxed{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y\big(2x-\cos(xy)\big)}{x\cos(xy)-x^{2}}.}
Essa é a expressão que se usa para avaliar a derivada em pontos da curva definida implicitamente.

Passo 4

Antes de substituir o ponto (1,\pi) na fórmula, é fundamental verificar se (1,\pi) realmente pertence à curva original, porque a derivada implícita só faz sentido em pontos da curva.
Substituindo (x,y)=(1,\pi) na equação original:
\operatorname{sen}(1\cdot\pi)=\operatorname{sen}(\pi)=0,
enquanto o lado direito é
1^{2}\cdot\pi=\pi.
Como 0\neq\pi, a igualdade \operatorname{sen}(xy)=x^{2}y NÃO é satisfeita em (1,\pi). Portanto o ponto (1,\pi) não pertence à curva definida por aquela relação.

Passo 5

Consequência lógica: a derivada \dfrac{dy}{dx} no ponto (1,\pi) não está definida, porque o ponto não está na curva. Ou seja, não faz sentido falar na derivada da função implícita naquele par (x,y).
Observação pedagógica (armadilha comum): se alguém aplicasse a fórmula obtida em \

Passo 6

\cos(1\cdot\pi)=\cos(\pi)=-1,
\text{numerador}= \pi\big(2\cdot1 -(-1)\big)=\pi\cdot 3=3\pi,
\text{denominador}=1\cdot(-1)-1^{2}=-1-1=-2,
logo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\pi}{-2}=-\dfrac{3\pi}{2}, que corresponde à alternativa (d). Porém esse valor é inválido aqui porque a etapa essencial (o ponto pertencer à curva) não foi verificada — e, como vimos, (1,\pi) não satisfaz a equação inicial. Portanto esse resultado numérico não representa a derivada da função implícita em nenhum ponto da curva.

Resposta

O ponto (1,\pi) não pertence à curva \operatorname{sen}(xy)=x^{2}y; portanto \dfrac{dy}{dx} em (1,\pi) não está definida.

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