(1,0 ponto) Ainda em relação ao exercício anterior, mostre que
\langle H\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2} E_{n} .
Onde E_{n} é a energia no e-nésimo estado em que a partícula se encontra. { }^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\langle H\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2} E_{n}.
Informações dadas (explícitas ou que normalmente se assumem nesta situação):
\text{(i)}\quad H\\ \text{é o operador Hamiltoniano (autoadjunto) do sistema;}é
\text{(ii)}\quad \{\,|n\rangle\,\}_{n=1}^{\infty}\\ \text{é uma base ortonormal de autoestados de }H;é
\text{(iii)}\quad H|n\rangle = E_{n}\,|n\rangle\quad\text{para cada }n;
\text{(iv)}\quad |\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\,|n\rangle\quad\text{é o estado do sistema, com }c_{n}\in\mathbb{C};é
\text{(v)}\quad \langle m|n\rangle = \delta_{mn}\quad\text{(ortogonalidade) e }\sum_{n}|n\rangle\langle n|=I\quad\text{(completude).}
O que precisamos provar: que a média (valor esperado) do operador H no estado |\psi\rangle, definida por \langle H\rangle=\langle\psi|H|\psi\rangle, se reduz à soma ponderada acima.

Passo 2

Definição e preparação da conta (explicando cada símbolo):
A expectativa/valor médio do Hamiltoniano no estado |\psi\rangle é dada por
\langle H\rangle = \langle\psi|H|\psi\rangle.
Aqui \langle\psi| é o bra associado ao ket |\psi\rangle; se |\psi\rangle tem expansão |\psi\rangle=\sum_{n} c_{n}|n\rangle, então
\langle\psi| = \left(\sum_{n} c_{n}|n\rangle\right)^{\dagger} = \sum_{m} c_{m}^{*}\langle m|.
Explicação: o símbolo {}^\dagger indica conjugado e transposto; portanto cada coeficiente vira seu conjugado complexo c_{m}^{*} e os kets viram bras \langle m|.

Passo 3

Expandindo \langle\psi|H|\psi\rangle usando as expansões de |\psi\rangle e \langle\psi|:
\langle H\rangle = \left(\sum_{m} c_{m}^{*}\langle m|\right) H \left(\sum_{n} c_{n}|n\rangle\right).
Pela linearidade do produto e do operador, podemos tirar as somas para fora:
\langle H\rangle = \sum_{m}\sum_{n} c_{m}^{*}\,c_{n}\,\langle m|H|n\rangle.
Explicação: multiplicação de bras/kets segue as regras da álgebra linear: primeiro aplicamos H ao ket |n\rangle, depois calculamos o produto interno com \langle m|.

Passo 4

Usando a equação própria do Hamiltoniano:
H|n\rangle = E_{n}\,|n\rangle,
podemos avaliar o elemento de matriz \langle m|H|n\rangle:
\langle m|H|n\rangle = \langle m|(E_{n}\,|n\rangle) = E_{n}\,\langle m|n\rangle.
Explicação: E_{n} é um número (autovalor), então pode ser tirado da esquerda do produto interno.

Passo 5

Agora usamos a ortonormalidade \langle m|n\rangle=\delta_{mn} (aqui \delta_{mn} é o delta de Kronecker, vale 1 se m=n e 0 caso contrário). Substituindo em \langle H\rangle obtemos:
\langle H\rangle = \sum_{m}\sum_{n} c_{m}^{*}\,c_{n}\,E_{n}\,\delta_{mn}.
O delta colapsa a soma dupla, pois só contribuem os termos com m=n. Assim
\langle H\rangle = \sum_{n} c_{n}^{*}\,c_{n}\,E_{n}.
Mas c_{n}^{*}\,c_{n} = |c_{n}|^{2}, o módulo ao quadrado do coeficiente.

Passo 6

Conclusão e observações finais:
Portanto
\langle H\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} |c_{n}|^{2}\,E_{n},
que é exatamente o que se pedia. Observações didáticas: isso diz que o valor médio da energia é a soma das energias ponderadas pelas probabilidades |c_{n}|^{2} de encontrar o sistema no estado |n\rangle. Se quisermos um exemplo concreto, para um sistema com apenas dois níveis |1\rangle,|2\rangle com energias E_{1},E_{2} e coeficientes c_{1},c_{2}, teríamos
\langle H\rangle = |c_{1}|^{2}E_{1} + |c_{2}|^{2}E_{2}.
Dica para prova: no exame, escreva claramente a expansão do estado, escreva \langle\psi|H|\psi\rangle, use H|n\rangle=E_{n}|n\rangle e a ortonormalidade para colapsar a soma — é um caminho curtinho e seguro.

Resposta

\langle H\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2} E_{n}

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