(1,0 ponto) Ainda em relação ao exercício anterior, mostre que
Onde
é a energia no e-nésimo estado em que a partícula se encontra.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas (explícitas ou que normalmente se assumem nesta situação):
O que precisamos provar: que a média (valor esperado) do operador
no estado
, definida por
, se reduz à soma ponderada acima.
Passo 2
Definição e preparação da conta (explicando cada símbolo):
A expectativa/valor médio do Hamiltoniano no estado é dada por
A expectativa/valor médio do Hamiltoniano no estado
Aqui
é o bra associado ao ket
; se
tem expansão
, então
Explicação: o símbolo
indica conjugado e transposto; portanto cada coeficiente vira seu conjugado complexo
e os kets viram bras
.
Passo 3
Expandindo
usando as expansões de
e
:
Pela linearidade do produto e do operador, podemos tirar as somas para fora:
Explicação: multiplicação de bras/kets segue as regras da álgebra linear: primeiro aplicamos
ao ket
, depois calculamos o produto interno com
.
Passo 4
Usando a equação própria do Hamiltoniano:
podemos avaliar o elemento de matriz
:
Explicação:
é um número (autovalor), então pode ser tirado da esquerda do produto interno.
Passo 5
Agora usamos a ortonormalidade
(aqui
é o delta de Kronecker, vale
se
e
caso contrário). Substituindo em
obtemos:
O delta colapsa a soma dupla, pois só contribuem os termos com
. Assim
Mas
, o módulo ao quadrado do coeficiente.
Passo 6
Conclusão e observações finais:
Portanto
Portanto
que é exatamente o que se pedia. Observações didáticas: isso diz que o valor médio da energia é a soma das energias ponderadas pelas probabilidades
de encontrar o sistema no estado
. Se quisermos um exemplo concreto, para um sistema com apenas dois níveis
com energias
e coeficientes
, teríamos
Dica para prova: no exame, escreva claramente a expansão do estado, escreva
, use
e a ortonormalidade para colapsar a soma — é um caminho curtinho e seguro.