(2,0 pontos) Seja o poço quadrado infinito cuja função de onda inicial é dada por
onde
é a constante de normalização, calcule o valor esperado de energia
.
-
Lembre que a funçāo de estado no poço infinito é dado por
com
Lembre que
e que
Lembre que a equação de Schrodinger independente do tempo pode ser escrita como
Lembre que a funçāo de estado no poço infinito é dado por com
Lembre que e que
Lembre que a equação de Schrodinger independente do tempo pode ser escrita como
Passo 1
O enunciado dá a função de onda inicial no poço infinito de largura
:
onde
é a constante de normalização (ainda desconhecida). Também nos é lembrado que as autofunções do poço são
A pergunta é: calcule o valor esperado da energia
para o estado inicial dado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função inicial é
definida em . - As autofunções e os autovalores (lembrança útil) da energia no poço infinito são dados por
- Precisamos calcular
do estado .
Passo 2
Normalizar
para encontrar
.
Condição de normalização:
Aqui
é real, então
. Substituindo:
Para calcular a integral, fazemos a mudança
(ou usar Beta). Com
temos
e
, então
A integral padrão é uma integral Beta:
Logo
Voltando à normalização:
escolhendo o sinal positivo para a constante de normalização.
Passo 3
Expressar
em termos das autofunções
. Isso é útil porque
é diagonal na base
e o valor esperado da energia é
onde os coeficientes de expansão são
Vamos calcular
. Substituindo
e
:
Faço a mudança
(
) para simplificar:
Defina
e chame
Vamos calcular
por integração por partes. Escrevemos
Calcule cada integral separadamente.
- Para
: por partes com , temos , . Assim
Como
e
, isso reduz para
- Para
: por partes com , dá e aparece outra integral que também é por partes; executando as contas:
E
Usando
e
, obtemos
Voltando,
Agora subtraímos (1) menos (2):
Reescrevendo,
Portanto, voltando à integral original,
Passo 4
Substituímos no
:
Simplificando os fatores de
:
Observação prática: se
é par então
e
, logo
para todos os
pares. Apenas os
ímpares contribuem.
Usando o valor de
(do Passo 2) para os
ímpares (
), temos
Portanto, para
ímpar:
e para
par
.
Nota rápida para confiança: pode-se verificar que
usando séries conhecidas (isso funciona; não é necessário recalcular aqui, mas serve como checagem).
Passo 5
Agora calculamos o valor esperado da energia usando a expansão em autofunções:
Como
é zero para
par, somamos apenas sobre
ímpares. Usando
e
(para
ímpar), obtemos um termo genérico
Portanto
Passo 6
Calculamos a soma sobre os inteiros ímpares da série
. Usamos a relação com a função zeta de Riemann:
E sabemos que
. Assim
Substituindo de volta em
:
Podemos também expressar
em função da energia do primeiro nível
: