O ponto \boldsymbol{P} está em coordenadas polares. Escreva o ponto P\left(2, \frac{\pi}{4}\right) em coordenadas cartesianas

Passo 1

O enunciado pede para escrever o ponto em coordenadas polares P\left(2,\frac{\pi}{4}\right) em coordenadas cartesianas.
Informações dadas: r=2 e \theta=\frac{\pi}{4}.
O que precisamos encontrar: as coordenadas x e y tais que o mesmo ponto seja P(x,y) no plano cartesiano.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática): numa conversão de coordenadas polares (r,\theta) para cartesianas (x,y) usamos as fórmulas
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Aqui r é a distância do ponto à origem (sempre não negativa) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário. A razão disso é que, se você desenhar o triângulo retângulo formado pela origem, a projeção do ponto no eixo x tem comprimento r\cos\theta (adjacente) e a projeção no eixo y tem comprimento r\sin\theta (oposto).

Passo 3

Aplicando a fórmula para x: substituímos r=2 e \theta=\frac{\pi}{4}:
x = 2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Agora precisamos saber \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right). Pelo triângulo especial de 45^\circ (ou \frac{\pi}{4} rad), os lados relativos dão
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Isso vem do triângulo isósceles 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ: as projeções em x e y são iguais e, na hipotenusa 1 (unidade do círculo), cada uma vale \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Continuando o cálculo de x:
x = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Simplificando a multiplicação:
x = \sqrt{2}.
Aqui fizemos 2 vezes \frac{\sqrt{2}}{2}; o 2 do numerador cancela com o 2 do denominador, sobrando \sqrt{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula para y: substituindo os valores
y = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Sabemos também, pelo mesmo triângulo de 45^\circ, que
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
y = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.

Passo 6

Concluímos que as coordenadas cartesianas do ponto são iguais para x e y, ambos \sqrt{2}. Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{2}\approx 1{,}4142, mas a resposta exata é mais elegante em termos de \sqrt{2}.

Resposta

P(\sqrt{2},\sqrt{2})

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