ponto
está em coordenadas polares. Escreva o ponto
em coordenadas cartesianas
Passo 1
O enunciado pede para escrever o ponto em coordenadas polares
em coordenadas cartesianas.
Informações dadas: e
.
O que precisamos encontrar: as coordenadas e
tais que o mesmo ponto seja
no plano cartesiano.
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: as coordenadas
Passo 2
Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática): numa conversão de coordenadas polares
para cartesianas
usamos as fórmulas
Aqui
é a distância do ponto à origem (sempre não negativa) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo, no sentido anti-horário. A razão disso é que, se você desenhar o triângulo retângulo formado pela origem, a projeção do ponto no eixo
tem comprimento
(adjacente) e a projeção no eixo
tem comprimento
(oposto).
Passo 3
Aplicando a fórmula para
: substituímos
e
:
Agora precisamos saber
. Pelo triângulo especial de
(ou
rad), os lados relativos dão
Isso vem do triângulo isósceles
: as projeções em
e
são iguais e, na hipotenusa 1 (unidade do círculo), cada uma vale
.
Passo 4
Continuando o cálculo de
:
Simplificando a multiplicação:
Aqui fizemos
vezes
; o
do numerador cancela com o
do denominador, sobrando
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula para
: substituindo os valores
Sabemos também, pelo mesmo triângulo de
, que
Portanto
Passo 6
Concluímos que as coordenadas cartesianas do ponto são iguais para
e
, ambos
. Se quiser uma aproximação numérica,
, mas a resposta exata é mais elegante em termos de
.