Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1,2,1), B(1,0,1) e C(2,1,0)
Passo 1
O que o problema pede: determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1,2,1), B(1,0,1) e C(2,1,0).
Informações dadas:
As coordenadas dos três pontos são A(1,2,1), B(1,0,1) e C(2,1,0).
Pressupõe-se que esses três pontos não são colineares (ou seja, determinam um plano único).
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): um plano no espaço pode ser escrito se conhecermos um vetor normal \mathbf{n} ao plano e um ponto P_0 do plano; então a equação vetorial é \mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0, onde \mathbf{r}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano e \mathbf{r_0} é o vetor posição de P_0. Para obter \mathbf{n} podemos calcular o produto vetorial de dois vetores que pertencem ao plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Agora vamos calcular passo a passo esses vetores.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
O vetor \overrightarrow{AB} é obtido subtraindo coordenadas de A de B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1,\;0-2,\;1-1) = (0,-2,0).
O vetor \overrightarrow{AC} é:
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;1-2,\;0-1) = (1,-1,-1).
Explicação rápida sobre esse passo: para obter o vetor que vai de um ponto P para Q subtrai-se as coordenadas de P das de Q. Isso nos dá vetores que estão no plano formado por A,B,C.
Passo 4
Calcular o vetor normal \mathbf{n} ao plano como produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos; é uma forma padrão de obter o normal de um plano.
Podemos simplificar dividindo por 2 (qualquer múltiplo não-nulo do normal serve): tome \mathbf{n}=(1,0,1). Isso significa que \mathbf{n} é perpendicular a qualquer vetor do plano.
Passo 5
Escrever a equação do plano usando \mathbf{n}=(1,0,1) e o ponto A(1,2,1) como \mathbf{r_0}. A fórmula é
Observação sobre interpretação: isso significa que qualquer ponto (x,y,z) do plano satisfaz x+z=2; note que a coordenada y não aparece porque o coeficiente de y no vetor normal é zero, ou seja, o plano é paralelo ao eixo y.
Passo 6
Verificação rápida substituindo B e C na equação obtida:
Para B(1,0,1): x+z-2 = 1+1-2 = 0. OK.
Para C(2,1,0): x+z-2 = 2+0-2 = 0. OK.
Isso confirma que a equação encontrada passa por A,B,C.