(1,5 ponto) Calcular a derivada direcional da função vetorial \vec{f}=(x y, y z, x z) no ponto P(1,2,3) na direção \vec{v}=(2,1,0).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função vetorial \vec{f}=(x y,\, y z,\, x z) no ponto \,P(1,2,3)\, na direção \vec{v}=(2,1,0).
Informações dadas:
A função vetorial tem três componentes: f_1(x,y,z)=x y, f_2(x,y,z)=y z e f_3(x,y,z)=x z.
O ponto onde devemos avaliar é P(1,2,3), ou seja x=1, y=2, z=3.
A direção é o vetor \vec{v}=(2,1,0).
O que queremos obter: a derivada direcional de \vec{f} em P ao longo de \vec{v}. O resultado será um vetor com três componentes (uma derivada direcional para cada componente de \vec{f}).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula passo a passo):
Para uma função escalar g(x,y,z), a derivada direcional na direção de um vetor unitário \vec{u} é dada por
D_{\vec{u}} g = \nabla g \cdot \vec{u},
onde \nabla g é o gradiente de g (o vetor das derivadas parciais) e \cdot é o produto escalar. Aqui, \nabla g=(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y,\;\partial g/\partial z). Cada componente do gradiente é a derivada parcial de g em relação àquela variável, e o produto escalar com \vec{u} dá a taxa de variação de g na direção de \vec{u}.
Para uma função vetorial \vec{f}=(f_1,f_2,f_3), calculamos a derivada direcional componente a componente:
Observação final e checagem rápida (truque para a prova):
Alternativamente, você pode montar a matriz Jacobiana J_{\vec{f}}(P) cujas linhas/colunas são os gradientes das componentes e multiplicar por \vec{u}; o resultado será o mesmo. Isso é útil quando a função tem muitas componentes: gradient → Jacobiano → multiplicar por \vec{u}.
Está tudo consistente numericamente: os produtos escalares foram simples inteiros divididos por \sqrt{5}, então não há erro de arredondamento.
Força aí — você já tem a resposta e o passo a passo que dá pra reproduzir rápido na prova!