(1,5 ponto) Calcular a derivada direcional da função vetorial \vec{f}=(x y, y z, x z) no ponto P(1,2,3) na direção \vec{v}=(2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função vetorial \vec{f}=(x y,\, y z,\, x z) no ponto \,P(1,2,3)\, na direção \vec{v}=(2,1,0).
Informações dadas:
  • A função vetorial tem três componentes: f_1(x,y,z)=x y, f_2(x,y,z)=y z e f_3(x,y,z)=x z.
  • O ponto onde devemos avaliar é P(1,2,3), ou seja x=1, y=2, z=3.
  • A direção é o vetor \vec{v}=(2,1,0).
O que queremos obter: a derivada direcional de \vec{f} em P ao longo de \vec{v}. O resultado será um vetor com três componentes (uma derivada direcional para cada componente de \vec{f}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula passo a passo):
  • Para uma função escalar g(x,y,z), a derivada direcional na direção de um vetor unitário \vec{u} é dada por
D_{\vec{u}} g = \nabla g \cdot \vec{u},
onde \nabla g é o gradiente de g (o vetor das derivadas parciais) e \cdot é o produto escalar. Aqui, \nabla g=(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y,\;\partial g/\partial z). Cada componente do gradiente é a derivada parcial de g em relação àquela variável, e o produto escalar com \vec{u} dá a taxa de variação de g na direção de \vec{u}.
  • Para uma função vetorial \vec{f}=(f_1,f_2,f_3), calculamos a derivada direcional componente a componente:
D_{\vec{u}}\vec{f} = \bigl(D_{\vec{u}} f_1,\; D_{\vec{u}} f_2,\; D_{\vec{u}} f_3\bigr),
ou seja, cada componente é \nabla f_i \cdot \vec{u}.
  • Importante: devemos usar um vetor de direção unitário \vec{u}. Se o vetor dado for \vec{v}, normalizamos por
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
onde \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}. Isso porque a derivada direcional é definida por unidade de comprimento na direção escolhida.
Vou aplicar essa receita passo a passo ao problema.

Passo 3

Normalizar o vetor direção \vec{v}=(2,1,0).
Calcular a norma:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}.
Portanto o vetor unitário na direção de \vec{v} é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{(2,1,0)}{\sqrt{5}}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right).

Passo 4

Calcular os gradientes das componentes de \vec{f}. Lembre que cada gradiente é o vetor das derivadas parciais.
Definimos:
f_1(x,y,z)=xy,\qquad f_2(x,y,z)=yz,\qquad f_3(x,y,z)=xz.
Derivadas parciais:
  • Para f_1=xy:
\frac{\partial f_1}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial f_1}{\partial y}=x,\qquad \frac{\partial f_1}{\partial z}=0.
Logo
\nabla f_1=(y,\;x,\;0).
  • Para f_2=yz:
\frac{\partial f_2}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f_2}{\partial y}=z,\qquad \frac{\partial f_2}{\partial z}=y.
Logo
\nabla f_2=(0,\;z,\;y).
  • Para f_3=xz:
\frac{\partial f_3}{\partial x}=z,\qquad \frac{\partial f_3}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial f_3}{\partial z}=x.
Logo
\nabla f_3=(z,\;0,\;x).

Passo 5

Avaliar os gradientes no ponto P(1,2,3) (ou seja x=1, y=2, z=3).
Substituindo:
\nabla f_1(P)=(y,x,0)\big|_{(1,2,3)}=(2,1,0).
\nabla f_2(P)=(0,z,y)\big|_{(1,2,3)}=(0,3,2).
\nabla f_3(P)=(z,0,x)\big|_{(1,2,3)}=(3,0,1).

Passo 6

Calcular as derivadas direcionais das componentes usando o produto escalar com \vec{u}.
Recordando \vec{u}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}},0\right).
  • Para f_1:
D_{\vec{u}} f_1 = \nabla f_1(P)\cdot \vec{u} = (2,1,0)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right) =\frac{2\cdot2 + 1\cdot1 + 0\cdot0}{\sqrt{5}}=\frac{4+1}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.
  • Para f_2:
D_{\vec{u}} f_2 = \nabla f_2(P)\cdot \vec{u} = (0,3,2)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right) =\frac{0\cdot2 + 3\cdot1 + 2\cdot0}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.
  • Para f_3:
D_{\vec{u}} f_3 = \nabla f_3(P)\cdot \vec{u} = (3,0,1)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right) =\frac{3\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot0}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}.
Portanto a derivada direcional componente a componente é
D_{\vec{u}}\vec{f}(P)=\left(\sqrt{5},\;\frac{3}{\sqrt{5}},\;\frac{6}{\sqrt{5}}\right).

Passo 7

Observação final e checagem rápida (truque para a prova):
  • Alternativamente, você pode montar a matriz Jacobiana J_{\vec{f}}(P) cujas linhas/colunas são os gradientes das componentes e multiplicar por \vec{u}; o resultado será o mesmo. Isso é útil quando a função tem muitas componentes: gradient → Jacobiano → multiplicar por \vec{u}.
  • Está tudo consistente numericamente: os produtos escalares foram simples inteiros divididos por \sqrt{5}, então não há erro de arredondamento.
Força aí — você já tem a resposta e o passo a passo que dá pra reproduzir rápido na prova!

Resposta

\displaystyle \left(\sqrt{5},\;\frac{3}{\sqrt{5}},\;\frac{6}{\sqrt{5}}\right)

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