Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
y=x^{3} ; \quad x^{2} y^{\prime \prime}-6 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \;y = x^{3}\; e a equação diferencial
x^{2} y^{\prime\prime} - 6y = 0.
A pergunta é: a função fornecida é uma solução dessa equação diferencial?\n
Informações relevantes fornecidas:
\;y = x^{3}\; (função candidata),
\;x^{2} y^{\prime\prime} - 6y = 0\; (equação diferencial a verificar).
Para ser solução, a função deve ser duas vezes diferenciável no domínio considerado e, ao substituir y, y' e y'' na equação, a igualdade deve ser satisfeita para todos os x desse domínio.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta que vamos usar: a regra do poder (power rule) para derivadas. A regra diz que, para um número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente. Essa regra é válida para n inteiro (e mais geral), e é a forma mais direta de derivar polinômios.

Passo 3

Aplicando a regra do poder à função \;y=x^{3}\; para obter a primeira derivada:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Expliquei passo a passo: tomei n=3 e usei n x^{n-1} para obter 3x^{2}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada, isto é, a derivada de y'. Usando a mesma regra do poder sobre 3x^{2} (lembrando que constantes podem ser puxadas para fora da derivada):
y''=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x.
Expliquei: differentiate x^{2} gives 2x, multiply by the constant factor 3 to get 6x.

Passo 5

Agora substituímos y e y'' na equação diferencial \;x^{2} y'' - 6y\; e simplificamos passo a passo.
Primeiro calculemos x^{2} y'':
x^{2} y'' = x^{2}\cdot(6x)=6x^{3}.
Em seguida, calculemos 6y:
6y = 6\cdot(x^{3})=6x^{3}.
Agora subtraímos:
x^{2} y'' - 6y = 6x^{3} - 6x^{3} = 0.
Isso mostra que, após substituir, a expressão da equação diferencial é identicamente zero para todo x.

Passo 6

Devemos também verificar a condição de diferenciabilidade: \;y=x^{3}\; é um polinômio, logo é infinitamente diferenciável em todo \mathbb{R}. Portanto as derivadas usadas existem para todo x, inclusive x=0. Substituindo x=0 na expressão final obtemos 0, então a igualdade vale também em x=0.

Passo 7

Conclusão: como a função é duas vezes diferenciável em todo \mathbb{R} e a substituição na equação diferencial produz sempre 0, a função satisfaz a equação para todo x real. Ou seja, é solução.

Resposta

Sim. y=x^{3} é solução da equação diferencial x^{2}y''-6y=0 para todo x\in\mathbb{R}.

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