Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a equação diferencial
A pergunta é: a função fornecida é uma solução dessa equação diferencial?\n
Informações relevantes fornecidas:
(função candidata),
(equação diferencial a verificar).
Para ser solução, a função deve ser duas vezes diferenciável no domínio considerado e, ao substituir ,
e
na equação, a igualdade deve ser satisfeita para todos os
desse domínio.
Informações relevantes fornecidas:
Para ser solução, a função deve ser duas vezes diferenciável no domínio considerado e, ao substituir
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta que vamos usar: a regra do poder (power rule) para derivadas. A regra diz que, para um número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente. Essa regra é válida para
inteiro (e mais geral), e é a forma mais direta de derivar polinômios.
Passo 3
Aplicando a regra do poder à função
para obter a primeira derivada:
Expliquei passo a passo: tomei
e usei
para obter
.
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada, isto é, a derivada de
. Usando a mesma regra do poder sobre
(lembrando que constantes podem ser puxadas para fora da derivada):
Expliquei: differentiate
gives
, multiply by the constant factor
to get
.
Passo 5
Agora substituímos
e
na equação diferencial
e simplificamos passo a passo.
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Em seguida, calculemos
:
Agora subtraímos:
Isso mostra que, após substituir, a expressão da equação diferencial é identicamente zero para todo
.
Passo 6
Devemos também verificar a condição de diferenciabilidade:
é um polinômio, logo é infinitamente diferenciável em todo
. Portanto as derivadas usadas existem para todo
, inclusive
. Substituindo
na expressão final obtemos
, então a igualdade vale também em
.
Passo 7
Conclusão: como a função é duas vezes diferenciável em todo
e a substituição na equação diferencial produz sempre
, a função satisfaz a equação para todo
real. Ou seja, é solução.
Resposta
Sim.
é solução da equação diferencial
para todo
.