(a) Para quais valores de r a função y=e^{r x} satisfaz a equação diferencial 2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0 ?
(b) Se r_{1} e r_{2} são os valores que você encontrou no item (a), mostre que todo membro da família de funções y= a e^{r_{1} x}+b e^{r_{2} x} também é uma solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=0
e pede duas coisas:
(a) Para quais valores de r a função y=e^{r x} satisfaz essa equação?
Informação dada: estamos testando a função y=e^{r x} com r desconhecido.
(b) Se r_{1} e r_{2} são os valores encontrados em (a), mostrar que toda a família
y = a e^{r_{1} x} + b e^{r_{2} x}
também é solução da equação (aqui a e b são constantes).

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de y=e^{r x}. Isso usa a regra da cadeia para exponenciais: a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}. No nosso caso u(x)=r x e u'(x)=r. Portanto:
y = e^{r x},
y' = r e^{r x},
y'' = r^{2} e^{r x}.
Explicando devagar: a primeira derivada multiplica por r; a segunda derivada multiplica por r de novo, resultando em r^{2} e^{r x}. Um exemplo concreto para fixar: se r=2, y=e^{2x}, então y'=2e^{2x} e y''=4e^{2x}.

Passo 3

Agora substituímos y, y' e y'' na equação diferencial. Substituindo:
2y'' + y' - y = 2(r^{2} e^{r x}) + (r e^{r x}) - (e^{r x}).
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero para qualquer x) obtemos:
2y'' + y' - y = e^{r x}\bigl(2r^{2} + r - 1\bigr).
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, para que a equação seja satisfeita precisamos que o fator polinomial seja zero:
2r^{2} + r - 1 = 0.
Esse polinômio em r é chamado de equação característica associada à tentativa y=e^{r x}.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática
2r^{2} + r - 1 = 0.
Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 2\cdot(-1)=-2 e cuja soma seja 1. Uma fatoração direta é
2r^{2} + r - 1 = (2r-1)(r+1).
Expandindo para conferir: (2r-1)(r+1)=2r^{2}+2r-r-1=2r^{2}+r-1. Logo a fatoração está correta.
Assim as raízes são dadas por resolver cada fator igual a zero:
2r-1=0 \implies r=\tfrac{1}{2},
r+1=0 \implies r=-1.
Portanto os valores de r que funcionam são r=\tfrac{1}{2} e r=-1.

Passo 5

Resumo da parte (a): as duas funções e^{\tfrac{1}{2}x} e e^{-x} satisfazem a equação diferencial porque seus rs anulam a equação característica 2r^{2}+r-1=0.

Passo 6

Agora a parte (b). Definimos o operador linear
L[y] := 2y'' + y' - y.
Um operador diferencial é linear quando, para quaisquer funções u(x), v(x) e constantes A,B, vale
L[Au + Bv] = A L[u] + B L[v].
Isso decorre diretamente do fato de derivada ser uma operação linear (a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de constante vezes função é constante vezes a derivada). Se quiseres ver isso com contas: se y=Au+Bv então
y' = Au' + Bv',\qquad y'' = Au'' + Bv'',
e substituindo em L cada termo se separa linearmente.

Passo 7

Aplicamos essa linearidade ao nosso caso concreto. Tome r_{1}=\tfrac{1}{2} e r_{2}=-1 (os valores da parte (a)) e considere
y(x) = a e^{r_{1} x} + b e^{r_{2} x},
com a,b constantes. Então, usando a linearidade de L,
L[y] = a L\bigl(e^{r_{1} x}\bigr) + b L\bigl(e^{r_{2} x}\bigr).
Mas de (a) sabemos que cada termo L\bigl(e^{r_{i} x}\bigr)=0, porque r_{i} satisfaz a equação característica. Portanto
L[y] = a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0.
Logo y(x)=a e^{r_{1} x} + b e^{r_{2} x} satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes a,b. Esse é o princípio da superposição: somas (com constantes) de soluções de uma equação diferencial linear homogênea também são soluções.

Resposta

(a) r=\tfrac{1}{2} ou r=-1.\n
(b) Para todos a,b\in\mathbb{R}, y=a e^{r_{1} x}+b e^{r_{2} x} é solução da equação.

Exercícios relacionados