(a) Para quais valores de
a função
satisfaz a equação diferencial
?
(b) Se
e
são os valores que você encontrou no item (a), mostre que todo membro da família de funções
também é uma solução.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
(a) Para quais valores de
a função
satisfaz essa equação?
Informação dada: estamos testando a função com
desconhecido.
Informação dada: estamos testando a função
(b) Se
e
são os valores encontrados em (a), mostrar que toda a família
também é solução da equação (aqui
e
são constantes).
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de
. Isso usa a regra da cadeia para exponenciais: a derivada de
é
. No nosso caso
e
. Portanto:
Explicando devagar: a primeira derivada multiplica por
; a segunda derivada multiplica por
de novo, resultando em
. Um exemplo concreto para fixar: se
,
, então
e
.
Passo 3
Agora substituímos
,
e
na equação diferencial. Substituindo:
Fatorando
(que nunca é zero para qualquer
) obtemos:
Como
para todo
, para que a equação seja satisfeita precisamos que o fator polinomial seja zero:
Esse polinômio em
é chamado de equação característica associada à tentativa
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Uma fatoração direta é
Expandindo para conferir:
. Logo a fatoração está correta.
Assim as raízes são dadas por resolver cada fator igual a zero:
Portanto os valores de
que funcionam são
e
.
Passo 5
Resumo da parte (a): as duas funções
e
satisfazem a equação diferencial porque seus
s anulam a equação característica
.
Passo 6
Agora a parte (b). Definimos o operador linear
Um operador diferencial é linear quando, para quaisquer funções
,
e constantes
, vale
Isso decorre diretamente do fato de derivada ser uma operação linear (a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de constante vezes função é constante vezes a derivada). Se quiseres ver isso com contas: se
então
e substituindo em
cada termo se separa linearmente.
Passo 7
Aplicamos essa linearidade ao nosso caso concreto. Tome
e
(os valores da parte (a)) e considere
com
constantes. Então, usando a linearidade de
,
Mas de (a) sabemos que cada termo
, porque
satisfaz a equação característica. Portanto
Logo
satisfaz a equação diferencial para quaisquer constantes
. Esse é o princípio da superposição: somas (com constantes) de soluções de uma equação diferencial linear homogênea também são soluções.
Resposta
(a)
ou
.\n
(b) Para todos ,
é solução da equação.
(b) Para todos