( 1,0 ponto) Um certo gás obedece a equação de van der Waals com a=0,50 \mathrm{~m}^{6} \mathrm{~Pa} \mathrm{~mol}{ }^{-2} .0 volume do gás é 5,0 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} a 273 K e 3,0 \mathrm{MPa}. a) A partir destas informações calcule a constante b da equação de van der Waals (não esquesa da unidade). b) Qual o fator de compressibilidade deste gás nesta temperatura e pressão?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):
  • Foi dito que o gás obedece a equação de van der Waals com a=0{,}50\\ \mathrm{m}^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{mol}^{-2}.
  • O volume molar do gás é \;V_m=5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} (informação do enunciado).
  • A temperatura é \;T=273\\ \mathrm{K}.
  • A pressão é \;p=3{,}0\\ \mathrm{MPa}. Note que \;1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}, então \;p=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Perguntas pedidas:
    1. (a) Calcular a constante b da equação de van der Waals (com unidade).
    2. (b) Calcular o fator de compressibilidade do gás nessa T e p.

Passo 2

Apresentando a equação de van der Waals e definindo cada termo (aula curta e necessária):
  • A equação de van der Waals para uma mole é
\left(p+\dfrac{a}{V_m^{2}}\right)(V_m-b)=RT.
  • O que significa cada símbolo:
    • p: pressão do gás (em \mathrm{Pa}).
    • V_m: volume molar ( \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}).
    • a: constante que corrige a atração intermolecular ( \mathrm{m}^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{mol}^{-2}).
    • b: constante que corrige o volume ocupado pelas moléculas ( \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}); é o que queremos achar.
    • R: constante dos gases ideais. Vou usar R=8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1} (o mesmo que \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}).
    • T: temperatura em \mathrm{K}.
  • Estratégia: isolar b na equação para poder calcular numericamente.

Passo 3

Isolando b algebricamente:
  • Partimos de
\left(p+\dfrac{a}{V_m^{2}}\right)(V_m-b)=RT.
  • Dividindo ambos os lados por \left(p+\dfrac{a}{V_m^{2}}\right) obtemos
V_m-b=\dfrac{RT}{\,p+\dfrac{a}{V_m^{2}}\,}.
  • Logo, isolando b,
b=V_m-\dfrac{RT}{\,p+\dfrac{a}{V_m^{2}}\,}.
  • Agora é só calcular o numerador e denominador com os valores dados.

Passo 4

Calcular \dfrac{a}{V_m^{2}} (atenção às unidades e ao uso de potências):
  • Primeiro V_m^{2}=(5{,}0\times10^{-4})^{2}=25\times10^{-8}=2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{6}\,\mathrm{mol}^{-2}.
  • Então
\dfrac{a}{V_m^{2}}=\dfrac{0{,}50}{2{,}5\times10^{-7}}=2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação: a correção de pressão devido a a neste volume é grande ( 2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}), comparável à pressão aplicada.

Passo 5

Calcular p+\dfrac{a}{V_m^{2}}:
  • Lembrando p=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Então
p+\dfrac{a}{V_m^{2}}=3{,}0\times10^{6}+2{,}0\times10^{6}=5{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular o numerador RT:
  • Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1} e T=273\\ \mathrm{K},
RT=8{,}314\times273\approx2268{,}85\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Observação de unidades: \mathrm{J}=\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3}, então a divisão abaixo dará \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} como desejado.

Passo 7

Calcular a fração \dfrac{RT}{p+\dfrac{a}{V_m^{2}}}:
  • Substituindo valores,
\dfrac{RT}{p+\dfrac{a}{V_m^{2}}}=\dfrac{2268{,}85}{5{,}0\times10^{6}}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} \approx4{,}5377\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 8

Encontrar b usando a fórmula isolada:
  • Lembrando V_m=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1},
b=V_m-\dfrac{RT}{p+\dfrac{a}{V_m^{2}}} =5{,}0\times10^{-4}-4{,}5377\times10^{-4}.
  • Portanto
b\approx4{,}623\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Em unidades mais familiares, b\approx4{,}62\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}=4{,}62\times10^{-2}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}=0{,}0462\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 9

Agora calculamos o fator de compressibilidade Z e explicamos o conceito (mini-aula):
  • Definição: o fator de compressibilidade é
Z=\dfrac{pV_m}{RT},
que compara o comportamento real (lado esquerdo) com o ideal ( Z=1 significa comportamento ideal).
  • Substituindo p=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, V_m=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} e RT\approx2268{,}85\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1},
pV_m=3{,}0\times10^{6}\times5{,}0\times10^{-4}=1{,}500\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Então
Z=\dfrac{1{,}500}{2268{,}85}\approx0{,}6616.
  • Interpretação: Z<1 significa que o gás está mais “compressível” que o ideal — as forças de atração entre moléculas (representadas por a) dominam aqui e reduzem o produto pV_m em relação ao ideal.

Passo 10

Verificação rápida de consistência e incentivo final:
  • Checagem dimensional: b tem unidade \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} — OK. Z é adimensional — OK.
  • Valores fazem sentido físico: b é bem menor que V_m (como esperado), e Z<1 é coerente com a presença de forças atrativas significativas (valor de a não desprezível).
  • Você foi bem! Calma que esses passos ficam automáticos com prática. 😃

Resposta

(a) b\approx4{,}62\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} ( \approx0{,}0462\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}).\n(b) Z\approx0{,}662.

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